Moduł 01 · modele

Modele plantów

Mass-spring-damper, cart-pole, silnik DC — równania ruchu, linearyzacja, transmitancja, otwarta pętla.

Co to jest „plant"

W literaturze automatyki plant (z angielskiego — dosłownie zakład, instalacja) to obiekt sterowania: fizyczny system, którego zachowanie chcemy kształtować — silnik, reaktor chemiczny, manipulator, dron, układ ogrzewania. W polskich podręcznikach spotyka się też terminy obiekt regulacji, obiekt sterowany albo skrót OS; w praktyce inżynierskiej angielskie „plant" jest powszechnie używane bez tłumaczenia.

Plant w sensie matematycznym to zwykle model dynamiczny — układ równań różniczkowych opisujących zależność wyjść $y$ (mierzonych) od wejść $u$ (sterowania) i zaburzeń $d$ . To, co kontroler „widzi", to właśnie ten model — wszystkie kolejne wyprowadzenia (PID, SMC, MPC) pracują na nim, nie na surowej fizyce. Stąd ten moduł: zanim zaczniemy projektować kontrolery, musimy umieć zapisać równania ruchu trzech archetypowych obiektów i rozumieć ich charakter (rząd, stabilność, liniowość, skale czasu).

Konwencja: w tej platformie używamy „plant" jednolicie, żeby uniknąć przeskakiwania między tłumaczeniami w jednym akapicie. Tam, gdzie potrzebny jest precyzyjny polski odpowiednik (np. w opisach formalnych), piszemy obiekt sterowania.

Sekcje modułu

1. Mass-spring-damper — drugi rząd, dyssypatywny
2. Cart-pole — czwarty rząd, niestabilny
3. Silnik DC — trzeci rząd, dwie skale czasu
4. Porównanie — co trzeba wiedzieć dla każdego

Trzy plantów reprezentujących trzy archetypy: stabilny dyssypatywny drugiego rzędu, niestabilny mechaniczny czwartego rzędu, i elektromechaniczny trzeciego rzędu z separowanymi skalami czasu. Pozostałe moduły kursu używają tych samych modeli — tutaj zaczynamy od pełnego zrozumienia, czym sterujemy.

1. Mass-spring-damper — drugi rząd, dyssypatywny

Najprostszy plant dydaktyczny: masa $m$ na sprężynie o sztywności $k$ , z tłumikiem o współczynniku $c$ . Druga zasada dynamiki:

m\,\ddot x + c\,\dot x + k\,x = u

W postaci stanowej (stan $\mathbf{x} = [x, \dot x]^\top$ , wejście $u$ , wyjście $y = x$ ):

\dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -k/m & -c/m \end{bmatrix}\mathbf{x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1/m \end{bmatrix} u, \qquad y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\mathbf{x}.

Charakterystyczne wielkości: częstość naturalna $\omega_n = \sqrt{k/m}$ i tłumienie $\zeta = c/(2\sqrt{mk})$ . Dla $\zeta < 1$ układ jest niedotłumiony — odpowiedź skokowa oscyluje wokół wartości docelowej $x_{ss} = u_{step}/k$ . Dla $\zeta \ge 1$ nie ma oscylacji.

parametry plant

m (masa)1.00 kg

c (tłumienie)2.00 Ns/m

k (sztywność)4.0 N/m

charakterystyka

ω_n = √(k/m)2.000 rad/sζ = c/(2√(mk))0.500x_ss = u/k0.250 m

niedotłumiony — odpowiedź oscylująca

Transmitancja (od siły

u

do pozycji

x

G(s) = 1 / (m·s² + c·s + k) = 1 / (1.00·s² + 2.00·s + 4.0)

Zmieniając $m$ , $c$ , $k$ obserwuj ω_n (częstość naturalna) i ζ (tłumienie). Skokowo zwiększ $m$ i widać, że ω_n maleje (powolniejszy układ), jednocześnie ζ maleje (bardziej oscylacyjny). Pojedynczy parametr steruje dwoma metrykami — to typowe dla układów drugiego rzędu.

2. Cart-pole — czwarty rząd, niestabilny

Wahadło odwrócone na wózku: cztery stany $[x, \dot x, \theta, \dot\theta]$ , jedno wejście $u$ (siła pozioma), dwa wyjścia $(x, \theta)$ . Niestabilna w pionie równowaga ( $\theta = 0$ ) — bez sterowania wahadło spada, lokalna dynamika jest wykładnicza dla małych odchyleń.

Wyprowadzenie z lagrangianu $L = T - V$ , gdzie energia kinetyczna obejmuje wkład wózka i pełną prędkość pozycji środka masy wahadła. Pełne równania:

(M+m)\ddot x + m\ell\ddot\theta\cos\theta - m\ell\dot\theta^2\sin\theta = u

m\ell\ddot x \cos\theta + m\ell^2 \ddot\theta = m g \ell \sin\theta

Po rozwiązaniu względem $\ddot x, \ddot\theta$ dostajemy układ nieliniowy. Dla projektowania kontrolerów linearyzujemy wokół równowagi pionowej ( $\theta \to 0$ , $\sin\theta \to \theta$ , $\cos\theta \to 1$ , $\dot\theta^2 \to 0$ ):

\dot{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -mg/M & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & (M+m)g/(M\ell) & 0 \end{bmatrix}}_{A}\mathbf{x} + \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 1/M \\ 0 \\ -1/(M\ell) \end{bmatrix}}_{B} u

Wartości własne $A$ dla $M=1, m=0.1, \ell=0.5$ : dwie zerowe (cart bez sprzężenia ma swobodny ruch translacyjny) i para $\pm \sqrt{(M+m)g/(M\ell)} \approx \pm 4.65$ rad/s — z której dodatnia wskazuje niestabilność.

Suwak poniżej kontroluje początkowy kąt $\theta_0$ . Symulacja dla $u = 0$ pokazuje swobodny upadek wahadła w pełnym modelu nieliniowym vs. modelu zlinearyzowanym. Dla małych kątów modele się pokrywają; dla dużych — linearyzacja przewiduje wykładnicze rośnięcie kąta, podczas gdy fizyka utrzymuje go w przedziale $\pm \pi$ (wahadło może się obrócić).

warunek początkowy

θ₀ (kąt początkowy)15 °

porównanie modeli

θ₀0.262 rad (15°)max |Δθ|2.690 radsin(θ₀) − θ₀-0.0030linearyzacja → ∞t ≈ 0.87 s

linearizacja akceptowalna do projektu kontrolera

Symulacja swobodnego upadku przy $u = 0$ . Niebieska — pełny model: wahadło fizycznie spada od $\theta_0$ przez $\pi/2$ (poziom) do $\pi$ (zwisa w dół), nabiera prędkości, leci dalej w górę po drugiej stronie do $2\pi - \theta_0$ , zawraca, oscyluje wokół π. Bez tarcia w modelu — wieczne wahania. Czerwona — linearyzacja $\sin\theta \approx \theta$ daje równanie $\ddot\theta = \frac{(M+m)g}{M\ell}\,\theta$ : dodatni biegun → θ rośnie eksponencjalnie do nieskończoności. Linia się urywa, gdy θ przekroczy 7 rad — od tego momentu wartości fizyczne to setki rad i wyżej, są poza skalą. Pionowa kreska zaznacza moment urwania. To czysto matematyczny artefakt przybliżenia, nie zachowanie fizyczne.

Pełne równania ruchu (z lagrangianu, bez tarcia, $u = 0$ ):

\ddot\theta = \frac{(M+m)g\sin\theta - u\cos\theta - m\ell\dot\theta^2 \sin\theta\cos\theta}{\ell\,(M + m\sin^2\theta)}

Linearyzacja wokół $\theta = 0$ (przybliżenie $\sin\theta \approx \theta$ , $\cos\theta \approx 1$ , $\dot\theta^2 \approx 0$ ):

\ddot\theta \approx \frac{(M+m)g\,\theta - u}{M\ell}

Symulacja powyżej pokazuje upadek wahadła z położenia $\theta_0$ przy $u = 0$ . Dla małych kątów krzywe pokrywają się; dla 30° rozjazd staje się widoczny w okolicy $t \approx 0.5$ s; dla 90° (poziomo) linearyzacja przewiduje wykładniczo rosnący kąt, podczas gdy pełny model utrzymuje go w przedziale $\pm \pi$ przez obrót.

3. Silnik DC — trzeci rząd, dwie skale czasu

Pierwszy plant z elektryką w pętli. Trzy stany: $[\theta, \omega, i_a]$ (kąt obrotu, prędkość, prąd twornika). Wejście: napięcie $V$ . Wyjście: zwykle $\omega$ (sterowanie prędkościowe) lub $\theta$ (sterowanie pozycyjne).

Model wynika z dwóch równań fizycznych. Mechaniczne (drugie prawo Newtona dla rotacji):

J\,\dot\omega = K_t\, i_a - b\,\omega - \tau_{load}

gdzie $K_t$ to stała momentowa (moment ∝ prąd), $b$ tłumienie viscous, $\tau_{load}$ moment obciążenia zewnętrzny. Elektryczne (prawo napięciowe Kirchhoffa wokół obwodu twornika):

L\,\dot i_a = V - R\,i_a - K_e\,\omega

gdzie $R, L$ to rezystancja i indukcyjność uzwojeń, $K_e\,\omega$ to back-EMF (siła elektromotoryczna indukowana przez wirujący wirnik). W jednostkach SI $K_t = K_e$ dla idealnego silnika.

Dwie naturalne stałe czasowe: elektryczna $\tau_e = L/R$ (zwykle ms) i mechaniczna $\tau_m = JR/(K_t K_e + bR)$ (zwykle 100 ms+). Gdy $\tau_e \ll \tau_m$ , można pominąć indukcyjność i uzyskać model pierwszego rzędu w $\omega$ . Suwak $L$ poniżej pozwala zobaczyć przejście — przy małym $L$ prąd ustala się natychmiast i ω rośnie czysto wykładniczo; przy dużym $L$ dochodzi „elektryczne" opóźnienie.

parametry silnika

R (rezystancja)1.00 Ω

L (indukcyjność)0.50 H

J (bezwładność)0.010 kg·m²

b (tłumienie)0.10 Nms

odpowiedź ustalona, V = 10 V

ω_ss0.999 rad/si_a,ss9.990 Aτ_e = L/R500.0 msτ_m99.9 msτ_m / τ_e0.20

skale czasowe blisko siebie — pełny model 2. rzędu

Równania stanu:

\dot\theta = \omega, \quad J\dot\omega = K_t i_a - b\omega, \quad L\dot{i_a} = V - R\,i_a - K_e \omega

Transmitancja prędkości od napięcia:

\frac{\omega(s)}{V(s)} = \frac{K_t}{J L\, s^2 + (RJ + bL)\, s + (Rb + K_t K_e)}

Skala elektryczna $\tau_e = L/R$ jest zwykle rzędu milisekund, mechaniczna $\tau_m$ rzędu setek milisekund. Gdy ich stosunek jest duży, indukcyjność można pominąć (typowo dla małych silników DC), a układ redukuje się do pierwszego rzędu — jednej eksponencjały zbiegającej do $\omega_{ss}$ . Spróbuj obniżyć $L$ lub podnieść $J$ , by zobaczyć ten reżim. Zwróć też uwagę na charakterystyczny peak prądu: przy starcie $\omega = 0$ , więc back-EMF $K_e \omega = 0$ , a prąd ograniczony jest tylko przez $R$ — dla małych $R$ daje to bardzo wysokie chwilowe prądy rozruchu.

4. Porównanie — co trzeba wiedzieć dla każdego

Trzy plant są reprezentantami trzech klas, które pojawiają się w kolejnych modułach kursu jako benchmarki:

plant	rząd	stabilny w open-loop?	liniowy?	cel sterowania	moduły
mass-spring-damper	2	tak (dyssypatywny)	tak	regulacja pozycji do zadanej wartości	2 (PID), 3 (step response benchmark)
cart-pole	4	nie (równowaga niestabilna)	nie	stabilizacja wahadła w pionie + anchor wózka	3 (SMC), 5 (MPC), 6 (benchmark wszystkich)
silnik DC	3	tak (z tłumieniem)	tak (idealny)	tracking prędkości / pozycji	2 (PID kaskadowy), 8 (adaptive)

Dla każdej klasy „dobry kontroler" oznacza co innego. Mass-spring-damper jest stabilny sam z siebie, więc dowolne ujemne sprzężenie zwrotne pomaga; pytanie tylko o jakość odpowiedzi (przeregulowanie, czas ustalania). Cart-pole bez sterowania spada — kontroler musi dostarczać dodatnie wzmocnienie żeby skompensować dynamikę dodatnich biegunów. Silnik DC ma łagodne dyssypatywne zachowanie, ale dynamika prądu jest dużo szybsza niż prędkości — typowo używa się kaskady: szybka pętla prądowa wewnątrz pętli prędkości wewnątrz pętli pozycji.

Co ten moduł NIE pokazuje

Tarcie statyczne i Coulomba — prawdziwe układy mechaniczne mają nieliniowe tarcie, które linearyzacja ignoruje. Dla cart-pole'a tarcie wózka o tor jest pomijalne tylko w warunkach laboratoryjnych.
Ograniczenia aktuatora — silniki mają maksymalny moment, hydraulika maksymalne ciśnienie. Modele tu są ciągłe i $u \in \mathbb{R}$ ; kontrolery z saturacją (np. MPC z ograniczeniami) traktują to formalnie.
Niepewność parametrów — masa, sztywność, bezwładność znamy z tolerancją kilku procent. Kontrolery robust (SMC, H∞) projektowane są dla całej rodziny modeli, nie dla jednego.
Pomiar — szum i opóźnienia — encoder rotor ma kwantyzację, IMU szum żyroskopowy, kamera latencję. Te efekty pojawią się przy projekcie obserwatorów (LQG, EKF) — poza zakresem aktualnego planu kursu.

Modele tu zaprezentowane są idealnymi przybliżeniami, które wystarczą do projektu klasycznych kontrolerów. Każdy moduł, który ich używa, wskazuje wprost, jakie założenia upraszczające przyjmuje.