Wprowadzenie do sterowania

1. Manualna regulacja zbiornika — po co w ogóle automatyka

Najlepszy argument za sterowaniem automatycznym to spróbuj zrobić to sam. Poniżej zbiornik z dopływem $q_{in}$, regulowanym przez Ciebie suwakiem, i wypływem proporcjonalnym do $\sqrt{h}$ (równanie Torricellego). Twoje zadanie: utrzymać poziom $h = r = 0.5$ m przez 30 sekund.

Haczyk: współczynnik wypływu $c(t)$ nie jest stały. Zmienia się powoli sinusoidalnie — $c(t) = c_0 + c_1\sin(\omega t)$, z $c_0 = 0.05$, $c_1 = 0.02$, $\omega = 0.4$ rad/s. Ty tego nie widzisz; widzisz tylko skutek (poziom dryfuje, choć dopływ trzymasz stały). Po 30 s porównamy Twój całkowy błąd absolutny $\mathrm{IAE} = \int_0^T |h - r|\,dt$ z wynikiem PID dostrojonego ręcznie pod identyczne zaburzenie.

Dlaczego ten eksperyment ma sens

To nie jest test umiejętności manualnej — to argument informacyjny. Człowiek widzi tylko poziom, a nie współczynnik wypływu. Każda korekta dopływu trafia do układu z latencją obserwacyjno-decyzyjną rzędu 200 ms i jest dawkowana w skokach 0.001 m³/s. Regulator PID widzi błąd $e = r - h$ co milisekundę i odpowiada gładko proporcjonalnie do błędu, jego całki i pochodnej. Różnica IAE rzędu 5–10× to nie magia — to przewaga pasma decyzyjnego i ciągłej akcji.

W modułach 2–5 rozłożymy tę przewagę na czynniki pierwsze: P (proporcjonalność do błędu) → I (eliminacja błędu ustalonego) → D (kompensacja prędkości błędu) → SMC (gwarancja zbieżności nawet pod zaburzeniem) → MPC (uwzględnienie ograniczeń $0 \le q_{in} \le q_{\max}$ w sposób optymalny).

2. Otwarta pętla vs sprzężenie zwrotne

Drugi argument za sterowaniem zwrotnym jest formalniejszy: gdy model jest dokładny, sterowanie zaplanowane z góry (open-loop / feedforward) wystarcza. Gdy nie jest — różnica wychodzi natychmiast. Plant (obiekt sterowania — patrz moduł 1): drugi rząd masa-sprężyna-tłumik.

Cel: pozycja $x$ ma trafić w referencję $r = 1$ m. Dwa identyczne planty stoją obok siebie:

• open-loop dostaje stały feedforward $u_{OL} = k\,r$, idealnie wyliczony z modelu nominalnego. Bez sprzężenia. Nie wie, że istnieje wyjście.
• closed-loop dostaje feedforward + człon proporcjonalny: $u_{CL} = K_p (r - x) + k\,r$ z $K_p = 8$. Widzi $x$ na bieżąco i koryguje błąd.

Bez zaburzeń oba osiągają $r$. Naciśnij „zaburz" w trakcie biegu — wstrzykniemy stałe zaburzenie siły $d = 3$ N i zobaczymy, kto się utrzyma.

Matematyka błędu ustalonego

W stanie ustalonym $\ddot x = \dot x = 0$, więc dla open-loop:

Błąd jest liniowy w zaburzeniu — dwa razy większe $d$ daje dwa razy większy błąd. Dla closed-loop:

Błąd nadal niezerowy, ale pomniejszony $(k + K_p)/k$ razy. Dla naszych liczb to $12/4 = 3\times$. Większe $K_p$ daje mniejszy błąd, ale za to ryzykuje niestabilność i większe przeregulowanie. Pełna eliminacja $e_{ss}$ wymaga członu całkującego — to PID, moduł 2.

3. Co znaczy „dobrze sterować" — wskaźniki jakości

Mając regulator z § 2 możemy go ocenić tylko przy konkretnej definicji jakości. Cztery klasyczne wskaźniki dla odpowiedzi skokowej (krok referencji $r$ z 0 do 1 w $t = 0$):

• czas wzrostu $t_r$ — od 10 % do 90 % wartości docelowej. Mówi „jak szybko reaguje".
• czas ustalania $t_s$ — moment, od którego trajektoria pozostaje na trwałe w paśmie ±2 % $r$. Mówi „jak szybko się uspokaja".
• przeregulowanie $M_p = (x_{max} - r)/r$ — jak bardzo przeskoczył cel. Im wyższe, tym agresywniejszy, ale ryzykowniejszy (ograniczenia, kolizje).
• IAE $= \int_0^T |e|\,dt$ — łączny błąd całkowity. Jedna liczba zamiast czterech, ale traci informację o profilu czasowym.

Pociągnij suwakami i obserwuj kompromis: większe $K_p$ skraca $t_r$, ale zwiększa $M_p$ i wymagane sterowanie. Większe tłumienie $c$ tłumi oscylacje, ale wydłuża $t_s$. Nie ma „najlepszych" parametrów — są tylko najlepsze pod zadane wymagania. To jest to, co uczy się dostrajać w kolejnych modułach.

Skąd biorą się te wzory

Plant z § 2 z regulatorem P + feedforward daje układ zamknięty drugiego rzędu:

Jego częstość naturalna i tłumienie:

Klasyczne formuły dla układu drugiego rzędu (dla $\zeta < 1$):

Możesz porównać przewidywanie analityczne z odczytaną wartością z symulacji — w paśmie środkowym $\zeta \in (0.3, 0.8)$ zgodność jest na poziomie kilku procent. Gdy $\zeta > 1$ wzór na $M_p$ traci sens (nie ma przeregulowania) i musisz odczytać $t_s$ z dwóch eksponent superpozycji — symulacja w tym pomaga.

4. Klasyfikacja — mapa rodzin algorytmów

Tradycyjna taksonomia metod sterowania (klasyczne / nowoczesne, liniowe / nieliniowe) jest historyczna i nie pomaga w wyborze algorytmu pod konkretny problem. Bardziej praktyczne pytanie brzmi: co wiem o obiekcie, jak chcę kształtować sygnał i czy parametry kontrolera mają się zmieniać w czasie. To trzy osie poniższej mapy:

• oś X · informacja o plant — od brak modelu (PID dostraja się empirycznie), przez liniowy (LQR/MPC ze zlinearyzowanym układem), po uczony (RL z modelem zastępczym).
• oś Y · forma sygnału sterowania — algebraiczna formuła (PID, LQR), przełączające z funkcją $\mathrm{sign}(s)$ (SMC), albo wynik optymalizacji rozwiązywanej online (MPC: QP per krok).
• oś Z · parametry w czasie — stałe (zaprojektowane raz), adaptacyjne (wolno aktualizowane online — MRAC, gain scheduling), albo online learning (RL, ILC z błędu poprzedniej iteracji).

W kursie omawiamy 8 kontrolerów rozsianych po tej mapie (kropki wypełnione, klik → moduł). Pozostałe 10 to atlas — krótkie hasła w /topics/<slug> z paragrafem „co", paragrafem „kiedy" i odnośnikami do klasycznej literatury. Atlas jest punktem startowym dla studenta, który chce wyjść poza kurs, oraz miejscem, do którego trafiają hasła kandydujące do awansu na pełny moduł (oznaczone ★).

Domyślnie mapa rzutuje oś X (model) na poziom i oś Y (forma) na pion; oś Z (parametry) jest zakodowana stylem ramki kropki — ciągła = stałe, kreskowana = adaptacyjne, kropkowana = online learning. Trzy przyciski powyżej wykresu pozwalają zamienić, które dwie z trzech osi tworzą rzut.

Co wynika z położenia

Lewy-dolny róg domyślnego rzutu (model × forma) to PID, ILC i ESC — metody, które nie wymagają jawnego modelu. PID dostraja się empirycznie; ILC poprawia sygnał z próby na próbę; ESC sonduje kosztową hiperpowierzchnię modulacją sinusoidalną. Wspólny mianownik: brak modelu = brak gwarancji optymalności, ale praktyczna odporność na drobne mismatchy.

Środek-góra to MPC (i LQR jako jego graniczny przypadek): wymaga modelu liniowego (lub ze zlinearyzowanego), ale daje optymalność i łatwą obsługę ograniczeń jako liniowych nierówności w QP.

Prawa kolumna (modele nieliniowe) to SMC, backstepping, feedback linearization, flatness-based, passivity-based i impedance — różniące się głównie tym, jakiej własności modelu używają. SMC potrzebuje tylko jawnego ograniczenia niepewności; feedback linearization — pełnej znajomości i dokładności modelu; passivity-based — pasywności (lub konstruowalnej funkcji magazynowej).

Górny rząd (parametry adaptacyjne / online-learning) to MRAC, gain scheduling i RL. Tu klucz to czas reakcji na zmianę modelu: gain scheduling przełącza w stałych zaplanowanych punktach; MRAC adaptuje wolno, jeśli sygnał jest „bogaty" (persistent excitation); RL uczy w skali eksperymentów.

↪ Wszystkie hasła atlasu listą

5. Zapowiedź — sześć kontrolerów na cart-pole

Wszystko, co zobaczyłeś dotąd, było w jednym wymiarze (zbiornik) lub dwóch (masa-sprężyna). Cart-pole — wahadło odwrócone na wózku — to standardowy benchmark sterowania nieliniowego (4D, niestabilna dynamika). Stan: $[x, \dot x, \theta, \dot\theta]$, gdzie $\theta$ to odchylenie od pionu. Bez sterowania wahadło spada, bo równowaga jest niestabilna.

Galeria poniżej pokazuje sześć kontrolerów rozwiązujących ten sam scenariusz: start z $\theta_0 = 0.3$ rad, w $t = 2$ s impulsowe zaburzenie kątowe $\Delta \dot\theta = +0.6$. Czas symulacji 5 s, model zlinearyzowany wokół pionu (pełna nieliniowa dynamika z funkcjami $\sin, \cos$ w module 1). Najedź na panel — link prowadzi do odpowiedniego modułu.

Co warto zauważyć

• PID i PID + anti-windup dają niemal identyczną trajektorię, gdy sterowanie nie wchodzi głęboko w saturację. AW staje się krytyczne, gdy $u_{\max}$ jest mniejsze, a zaburzenie większe — bez niego całkujący człon „wybija się" i układ ma długi przeregulowany powrót.
• SMC klasyczne ma chattering widoczny w trajektorii sterowania $u(t)$ — szybkie oscylacje wokół powierzchni $s = 0$. To jest cecha algorytmu, a nie błąd numeryczny: $\mathrm{sgn}(s)$ przełącza się przy każdym przejściu zera $s$.
• SMC super-twisting daje gładkie sterowanie kosztem złożoności (drugiego rzędu sliding-mode). Dla większości aplikacji praktycznych — pierwszy wybór z rodziny SMC.
• LQR i MPC dzielą tę samą funkcję sprzężenia $u = K x$ — różnią się tym, co dzieje się przy $|u| \to u_{\max}$. LQR niczego nie wie o tym ograniczeniu i jeśli zażąda 50 N, „dostanie" 50 N. MPC traktuje ograniczenie jako część zadania optymalizacji per krok; w tej galerii uproszczone do prostego przycięcia, ale w module 5 zobaczysz pełne sformułowanie QP.