Control Platform — Algorytmy sterowania w praktyce

Pomysł w jednym akapicie

W każdym kroku $t$ , mając aktualny stan $x_t$ , rozwiązujemy problem optymalizacji:

\min_{u_t,\ldots,u_{t+N-1}}\; \sum_{k=0}^{N-1}\Big(x_k^T Q\, x_k + R\, u_k^2\Big) + x_N^T P_f\, x_N

\text{przy ograniczeniach}\quad x_{k+1} = A\, x_k + B\, u_k, \quad u_{min} \le u_k \le u_{max}, \quad x_k \in \mathcal{X}.

Dostajemy sekwencję sterowań $u_t^*, \ldots, u_{t+N-1}^*$ . Aplikujemy tylko $u_t^*$ , mierzymy nowy stan $x_{t+1}$ , i powtarzamy całą procedurę. To jest receding horizon principle — predykcja jest WYRZUCANA w każdym kroku.

1. Idea horyzontu predykcji — cień w przyszłość

Najsilniejszą wizualizacją MPC jest pokazanie, jak w każdym kroku regulator wyobraża sobie przyszłą trajektorię na $N$ kroków, wybiera najlepszą, ale stosuje tylko pierwsze sterowanie z planu. Demo poniżej pokazuje cztery snapshoty predykcji w czasie symulacji oraz rzeczywistą trajektorię (obserwowaną).

parametry MPC

N (długość horyzontu)15

R (waga sterowania)0.10

u_max (saturacja)8.0 N

4 fioletowe „cienie" to przewidywane trajektorie planowane przez MPC w chwilach 0, 0.5, 1.5, 3 s. Każda zaczyna się w bieżącej pozycji (kropka) i pokazuje, jak MPC wyobraża sobie następne $N$ kroków. Niebieska linia to to, co FAKTYCZNIE się stało.

Zauważ: predykcja z t=0 nie pokrywa się z rzeczywistą trajektorią (mimo identycznych parametrów planu). MPC w każdym kroku replanuje od bieżącej obserwacji — to receding horizon principle.

Receding horizon. W chwili $t$ MPC:

mierzy stan $x_t$ ,
rozwiązuje problem optymalizacji na horyzoncie $N$ : znajduje sekwencję sterowań $u_t, u_{t+1}, \ldots, u_{t+N-1}$ minimalizującą koszt kwadratowy z ograniczeniami,
aplikuje TYLKO $u_t$ ,
w kolejnym kroku $t + 1$ wszystko zaczyna się od nowa (z świeżą obserwacją $x_{t+1}$ ).

„Cień w przyszłość" jest WYRZUCANY w każdym kroku. To jest źródło robustności MPC: błędy modelu nie kumulują się, bo predykcja startuje od pomiaru, a nie od poprzedniej predykcji.

Zwiększ $R$ i widać, że MPC „oszczędza energię" — predykcja wyprowadza system wolniej, ale gładziej. Zmniejsz $u_{max}$ do 3 — predykcja zacznie „uderzać" o ograniczenie i odkształcać się: trajektoria nie idzie już w najszybsze rozwiązanie, tylko w najszybsze dopuszczalne.

2. LQR jako MPC z nieskończonym horyzontem

Klasyczne LQR i MPC są ze sobą blisko spokrewnione. Dla problemu BEZ ograniczeń, z funkcją kosztu kwadratową:

J_\infty = \sum_{k=0}^{\infty}\big(x_k^T Q x_k + R u_k^2\big)

optymalna strategia to liniowe sprzężenie zwrotne $u = -K_{LQR} x$ , gdzie $K_{LQR}$ wyznacza się z algebraicznego równania Riccatiego (DARE). Twierdzenie: dla rosnącego horyzontu $N \to \infty$ , gain MPC pierwszego kroku zbiega monotonicznie do $K_{LQR}$ .

Wykres poniżej pokazuje wprost zbieżność dla naszego planta MSD. Dla horyzontu $N \approx 15$ różnica między MPC a LQR jest poniżej 1%. Stąd praktyczna wskazówka: w MPC bez ograniczeń, jeśli stać Cię na $N \ge 5\,\tau_{plant}/T_s$ (gdzie $\tau_{plant}$ to dominująca stała czasowa), MPC zachowuje się jak LQR — możesz równie dobrze użyć LQR analitycznie. MPC płaci się, gdy są ograniczenia (które LQR nie potrafi obsłużyć).

wagi LQR

log₁₀ Q₁₁ (waga pozycji)1.0

log₁₀ R (waga sterowania)-1.0

gain LQR (∞-horizon)

K_x4.943K_ẋ3.102Q₁₁10.00R0.100

Zbieżność do LQR. Dla nieograniczonego problemu MPC z funkcją kosztu:

J = \sum_{k=0}^{N-1} \big(x_k^T Q\, x_k + R\, u_k^2\big)

gain pierwszego kroku $K_0(N)$ wyznaczany przez cofającą się rekurencję Riccatiego, monotonicznie zbieżny do $K_{LQR}$ z DARE (przerywana linia). Wykres pokazuje wprost: dla $N \ge 15$ różnica jest znikoma — finite MPC jest już praktycznie LQR.

To uzasadnia twierdzenie pedagogicznie: LQR to MPC z nieskończonym horyzontem. Wybór $N$ w MPC to kompromis: większe $N$ = bliżej optimum, ale droższe obliczeniowo (QP ma $N$ zmiennych decyzyjnych).

Dla planta drugiego rzędu z dynamiką spoczynkową w skali kilku sekund i krokiem MPC $T_s = 0.1$ s wystarcza $N \approx 20$ . Dla cart-pole'a (czwarty rząd, niestabilny) typowe $N \in [30, 100]$ .

Spróbuj: zwiększ $R$ (waga sterowania) do 100 — gain spada, MPC będzie „leniwy". Zmniejsz do 0.001 — gain rośnie wykładniczo, MPC „agresywny" za cenę większego $u$ .

3. Ograniczenia liniowe — QP per krok

Z ograniczeniami pudełkowymi $|u_k| \le u_{max}$ (i ewentualnie $x_k \in \mathcal{X}$ ) problem MPC przestaje mieć rozwiązanie analityczne. Mamy program kwadratowy z $N$ zmiennymi decyzyjnymi:

\min_U\; \tfrac{1}{2} U^T H U + g^T U \quad\text{s.t.}\quad C U \le d.

gdzie $H, g$ wyrażone są przez $A, B, Q, R, x_0$ , a $C, d$ kodują ograniczenia. Standardowe algorytmy QP: aktywny zbiór (active set), punkt wewnętrzny (interior point), operator splitting (OSQP). W praktyce embedded używa się explicit MPC — prekomputowanego rozwiązania jako odcinkowo-liniowej funkcji $x_0$ (Bemporad et al. 2002).

W naszym demo § 1 powyżej rozwiązujemy QP iteracyjnie (gradient z projekcją na pudełko). To NIE jest wydajne, ale wystarcza do wizualizacji. Spróbuj zmniejszyć $u_{max}$ tam: gdy ograniczenie jest aktywne, predykcja deformuje się — zamiast prostej drogi do referencji, planuje „okrężną" tak, by nigdzie nie naruszyć saturacji. To jest jakościowa różnica względem PID lub LQR: te ostatnie najpierw obliczają sterowanie a potem clip do limitu (z możliwością wind-upu); MPC od początku uwzględnia ograniczenie w optymalizacji.

Stabilność MPC — wskazówki

Dla zbieżności i feasibility MPC potrzebne są:

Terminal cost $P_f$ — typowo z DARE (LQR cost-to-go). Bez niego skończony horyzont może być niestabilizujący nawet dla stabilnego planta.
Terminal constraint $x_N \in \mathcal{X}_f$ — zbiór niezmienniczy pod LQR; gwarantuje recursive feasibility.
Wystarczająco długi N — żeby z dowolnego punktu $x_0$ dojść do $\mathcal{X}_f$ w $N$ krokach z dopuszczalnym $u$ .

W naszym demo pomijam terminal cost (używam $P_f = Q$ ) — dla małego planta i dużego N nie ma to znaczenia praktycznego. Pełna teoria — Mayne et al. „Constrained Model Predictive Control" (Automatica 2000).

4. Robust MPC — tube-based

Klasyczny (nominalny) MPC zakłada, że model planta jest dokładny. W rzeczywistości $x_{k+1} = A x_k + B u_k + w_k$ , gdzie $w_k$ to ograniczone zaburzenie $\|w_k\| \le W$ . Pytanie: jak zaprojektować MPC, żeby gwarantował feasibility i stabilność w obecności zaburzeń?

Tube-based MPC (Mayne, Seron, Raković 2005) jest najpopularniejszym podejściem. Ideę można oddać tak:

Trajektoria nominalna $\bar x_k$ i sterowanie $\bar u_k$ spełniają model bez zaburzeń.
Rzeczywista trajektoria $x_k = \bar x_k + e_k$ , gdzie błąd $e_k$ ewoluuje: $e_{k+1} = (A - BK)e_k + w_k$ .
Wybieramy $K$ (np. LQR) tak, by $A - BK$ było stabilne. Wtedy $e_k$ żyje w pewnym zbiorze niezmienniczym $\Omega$ — tube wokół trajektorii nominalnej.
W MPC obniżamy ograniczenia o miarę „tubki": $\bar x_k \in \mathcal{X} \ominus \Omega$ , $\bar u_k \in \mathcal{U} \ominus K\Omega$ (operator $\ominus$ to różnica Minkowskiego). To gwarantuje, że rzeczywista trajektoria $x_k = \bar x_k + e_k$ nadal spełnia oryginalne ograniczenia.
Sterowanie: $u_k = \bar u_k - K(x_k - \bar x_k)$ — feedback K stabilizuje rzeczywistą trajektorię wokół nominalnej.

Cena: konserwatyzm. Tubka „zjada" margines bezpieczeństwa, więc dopuszczalny zbiór nominalnych trajektorii jest mniejszy niż dla nominal MPC. Dla małych $W$ akceptowalne; dla dużych — pojawia się min-max MPC, gdzie sterowanie optymalizuje koszt w najgorszym przypadku.

Pełen demo tube-based MPC wymaga obliczania zbiorów niezmienniczych (operacje Pontryagina, Minkowskiego), co wykracza poza prosty interaktywny komponent. Pomijam implementację — najlepszy wstęp: Rawlings, Mayne, Diehl „Model Predictive Control: Theory, Computation, and Design" rozdz. 3.

Co świadomie pomijam

Nonlinear MPC (NMPC) — dla układów nieliniowych zamiast jednego QP rozwiązuje się problem NLP w każdym kroku. Algorytmy: Sequential Quadratic Programming (SQP), Interior Point, Real-Time Iteration. Aplikacje: drony, cart-pole z pełnym modelem nieliniowym, robotyka.
Economic MPC — gdy funkcja kosztu nie jest kwadratowa wokół setpointu, ale jest bezpośrednio ekonomiczna (zysk minus koszt operacji). Przykład: optymalizacja produkcji procesowej.
Stochastic MPC — zaburzenia mają znaną dystrybucję (nie tylko ograniczenie). Problem optymalizacji traktuje koszt jako wartość oczekiwaną i ograniczenia jako chance constraints.
Explicit MPC — pre-komputacja optymalnego sterowania jako odcinkowo-liniowej funkcji $x_0$ . Pozwala uniknąć rozwiązywania QP online; krytyczne dla embedded systems.