Moduł 04 · ślizgowe

SMC z wygładzaniem

Boundary layer (sat), super-twisting, terminal SMC — kompromis chattering ↔ precyzja, porównanie 4 wariantów.

Mapa kompromisów

Wszystkie modyfikacje SMC, które tu rozważamy, można sklasyfikować wg dwóch wymiarów:

wariant	precyzja w sliding	chattering w u	złożoność
klasyczny SMC	idealna (s ≡ 0)	bardzo duży	najprostszy
boundary layer	ograniczona ~Φ/λ	brak (wewnątrz pasma)	jedna linia kodu
super-twisting	idealna asymptotycznie	bardzo mały (sgn w v̇)	+ jeden integrator
terminal	idealna w czasie skończonym	średni (sgn w u)	krzywa powierzchnia + singularity

1. Boundary layer — sat zamiast sgn

Najprostsza modyfikacja: w sąsiedztwie powierzchni $s = 0$ zamień $\mathrm{sgn}(s)$ na liniową funkcję $s/\Phi$ . Poza pasmem zachowanie identyczne jak klasyczny SMC; wewnątrz — sterowanie ciągłe i proporcjonalne do $s$ , więc bez przełączania.

\mathrm{sat}(s/\Phi) = \begin{cases} \mathrm{sgn}(s), & |s| \ge \Phi \\ s/\Phi, & |s| < \Phi \end{cases}

Cena: trajektoria nie wraca już do $s = 0$ dokładnie, tylko zatrzymuje się w pasie szerokości $\Phi$ . Odpowiada to błędowi $|e_{ss}| \sim \Phi/\lambda$ (na manifoldzie ė = -λe, więc gdy s utrzymuje się w paśmie, e oscyluje w pasie proporcjonalnym).

Φ = 0 (sgn)

|e_ss|0.0000σ(u)6.00

Φ = 0.05

|e_ss|0.0000σ(u)0.34

Φ = 0.20

|e_ss|0.0000σ(u)0.34

Φ = 0.60

|e_ss|0.0000σ(u)0.30

Boundary layer zastępuje $\mathrm{sgn}(s)$ funkcją saturacji wewnątrz pasa $|s| < \Phi$ :

\mathrm{sat}(s/\Phi) = \begin{cases} \mathrm{sgn}(s) & |s| \ge \Phi \\ s/\Phi & |s| < \Phi \end{cases}

Wewnątrz pasma sterowanie jest liniową funkcją $s$ — bez przełączania, bez chatteringu. Ale układ nie wraca już do $s = 0$ dokładnie; zatrzymuje się w pasie $|s| < \Phi$ , co oznacza błąd ustalony $|e_{ss}| \approx \Phi/\lambda$ . Tabelka powyżej pokazuje wprost: dla $\Phi = 0$ chattering jest gigantyczny ( σ(u) duże), a błąd zerowy. Dla $\Phi = 0.6$ sterowanie gładkie (σ(u) małe), ale $|e_{ss}| \sim 0.2$ .

To kompromis bez wyjścia — większa precyzja wymaga ostrzejszego przełączania. Boundary layer jest najprostszą i najczęstszą poprawką w przemyśle, ale gdy potrzebna i precyzja, i gładkie u — trzeba zmienić algorytm (super-twisting, terminal).

2. Twierdzenie Filippova — co to znaczy „rozwiązanie ślizgowe"

Klasyczne SMC ma w sterowaniu funkcję $\mathrm{sgn}(s)$ , która jest nieciągła w $s = 0$ . Z punktu widzenia teorii równań różniczkowych pojawia się problem: dla nieciągłej prawej strony klasyczna definicja rozwiązania (ciągłej różniczkowalnej trajektorii) nie ma sensu. Co zatem w ogóle jest rozwiązaniem, gdy układ ślizga się po powierzchni $s = 0$ ?

Twierdzenie Filippova (1960) podaje konstruktywną odpowiedź. W każdym punkcie nieciągłości definiujemy powłokę wypukłą wszystkich możliwych pochodnych z otoczenia tego punktu. Trajektoria filippovska to absolutnie ciągła funkcja spełniająca różniczkowe inkluzje:

\dot x(t) \in F(x(t)), \qquad F(x) = \mathrm{conv}\!\left\{\lim_{x'\to x, x'\in\mathcal{R}} f(x')\right\}.

W praktyce dla SMC: gdy trajektoria osiąga $s = 0$ , filippovskie rozwiązanie to to, w którym $\dot s = 0$ średnio (bo sgn przełącza się nieskończenie szybko). Z tego warunku wynika tzw. sterowanie równoważne $u_{eq}$ — jest to jedyna gładka wartość $u$ , która utrzymuje $s \equiv 0$ .

Dla naszego planta i powierzchni $s = \dot e + \lambda e$ z modułu 3:

u_{eq} = (c - \lambda m)\dot x + k x.

To jest matematyczne uzasadnienie, dlaczego $u_{eq}$ w naszym sterowniku ma taką a nie inną postać. Pełny sterownik to $u_{eq} + \eta\,\mathrm{sgn}(s)$ : część równoważna utrzymuje system na manifoldzie, część robust pcha go na manifold.

Pomijam tu formalne dowody (wymagałyby teorii miary Lebesgue'a). Praktycznie ważne jest tylko: 1) filippovskie rozwiązania istnieją dla SMC i są jednoznaczne pod naturalnymi założeniami; 2) wzór na $u_{eq}$ wynika z warunku $\dot s = 0$ , nie z hand-wavingu. Dalsze szczegóły: Utkin „Sliding Modes in Control and Optimization" rozdz. 2, lub Edwards & Spurgeon „Sliding Mode Control" rozdz. 1.4.

3. Super-twisting — drugiego rzędu SMC

Algorytm Levanta z 1993 r. — zastępuje klasyczne $\eta\,\mathrm{sgn}(s)$ w sterowaniu kombinacją dwóch składowych:

u = u_{eq} - k_1 \sqrt{|s|}\,\mathrm{sgn}(s) + v, \qquad \dot v = -k_2\,\mathrm{sgn}(s).

Kluczowe: $\mathrm{sgn}(s)$ występuje tylko w pochodnej $v$ , nie w $u$ bezpośrednio. Całka funkcji znaku jest funkcją trójkątną — ciągłą. Więc $u(t)$ jest ciągłe (Lipschitz), mimo że algorytm wewnętrznie wykorzystuje informację o znaku $s$ . To paradoksalna własność „drugiego rzędu" SMC: zarówno $s$ jak i $\dot s$ dążą do zera w czasie skończonym.

Dowód zbieżności jest niełatwy — klasycznie używa się funkcji Lapunowa nieciągłej (Polyakov, Moreno) lub niegładkiej (homogeneity-based, Bernuau). Pomijam pełne wyprowadzenie; warunek wystarczający stabilności pod ograniczonym zaburzeniem $|d| \le D$ to:

k_2 > D, \qquad k_1 > \sqrt{2(k_2 + D)}.

W praktyce $k_1 \approx 1.5\sqrt{D}$ , $k_2 \approx 1.1 D$ dla małych $D$ , lub większe wartości dla większego marginesu.

parametry super-twisting

k₁ (∝ √|s|·sgn(s))4.0

k₂ (integrator)8.0

Plant: MSD z modułu 1, zaburzenie d(t) = 0.5·sin(8t), kontroler dyskretny T_s = 5 ms. Dolny wykres pokazuje fazę sliding (zoom). Klasyczny SMC gwałtownie przełącza się o amplitudę 2η; ST integruje sgn, więc u staje się gładkie kosztem dłuższej fazy reaching.

Super-twisting algorithm (Levant 1993) — drugiego rzędu sliding mode. Definicja:

u = u_{eq} - k_1 \sqrt{|s|}\,\mathrm{sgn}(s) + v, \qquad \dot v = -k_2\,\mathrm{sgn}(s).

Kluczowa różnica względem klasycznego SMC: $\mathrm{sgn}(s)$ występuje teraz tylko wewnątrz integratora $v$ , a nie bezpośrednio w $u$ . Sygnał sterowania $u(t)$ jest ciągły — bo całkowanie sgn daje funkcję trójkątną, nie skokową. Mimo to w czasie skończonym $s \to 0$ i $\dot s \to 0$ (drugiego rzędu — stąd nazwa).

Warunek stabilności: dla zaburzeń ograniczonych $|d| \le D$ wystarczy $k_1, k_2 > c_1\,D$ dla pewnych stałych zależnych od struktury planta. W praktyce dobiera się $k_1 \approx 1.5\sqrt{D}$ , $k_2 \approx 1.1\,D$ jako punkt startowy.

Cena ST względem klasycznego SMC: dłuższa faza reaching (algorytm pierwiastkowy zamiast liniowego). Dla zastosowań, gdzie zaburzenie zmienia się powoli, ST jest niemal zawsze lepszym wyborem; dla bardzo szybkich zaburzeń klasyczny SMC z boundary layer może być prostszy.

4. Terminal SMC — zbieżność w czasie skończonym

Linear sliding daje zbieżność asymptotyczną na manifoldzie: $\dot e = -\lambda e \Rightarrow e(t) \propto e^{-\lambda t}$ . Nigdy ostro do 0. Terminal sliding zmienia powierzchnię na krzywą:

s = \dot e + \lambda\,|e|^\alpha\mathrm{sgn}(e), \qquad 0 < \alpha < 1.

Na $s = 0$ : $\dot e = -\lambda |e|^\alpha\mathrm{sgn}(e)$ . Rozwiązanie tego ODE schodzi do zera w czasie:

t_c = \frac{|e_0|^{1-\alpha}}{\lambda(1-\alpha)}.

Wykładnik $\alpha < 1$ daje przyspieszenie zbieżności w okolicy zera (im mniejsze $|e|$ , tym większa względna pochodna). Cena: $\dot s$ zawiera czynnik $|e|^{\alpha-1}$ rozbieżny przy $e \to 0$ , co prowadzi do singularity w $u_{eq}$ . W praktyce stosuje się Nonsingular Terminal SMC (Feng, Yu, Man 2002), gdzie struktura powierzchni jest tak dobrana, że singularity nie pojawia się. W naszej implementacji regularyzujemy $|e| \ge \epsilon = 10^{-2}$ dla numerycznej stabilności.

terminal SMC

α (wykładnik)0.60

Linear SMC zbiega do e=0 asymptotycznie: e(t) ∝ exp(−λt), nigdy ostro do 0. Terminal SMC z α < 1 zbiega w czasie skończonym: t_conv = |e₀|^(1−α) / (λ(1−α)). Dla α = 0.6, λ = 3: t_conv ≈ 0.83 s od start.

Terminal sliding mode używa krzywej powierzchni:

s = \dot e + \lambda\,|e|^\alpha\,\mathrm{sgn}(e), \qquad 0 < \alpha < 1.

Na $s = 0$ : $\dot e = -\lambda\,|e|^\alpha\mathrm{sgn}(e)$ . Rozwiązanie tego ODE w czasie:

|e(t)|^{1-\alpha} = |e_0|^{1-\alpha} - \lambda(1-\alpha)\,t \;\Rightarrow\; e \to 0 \;\text{w czasie}\; t_c = \frac{|e_0|^{1-\alpha}}{\lambda(1-\alpha)}.

Wykładnik $\alpha < 1$ daje przyspieszenie zbieżności w okolicy zera — pochodna rośnie, gdy $|e|$ spada (paradoksalnie). Dla $\alpha \to 1$ odzyskujemy dynamikę liniową (asymptotyczna). Dla $\alpha \to 0$ dostajemy bang-bang na samym e — chattering powraca.

Singularity i NTSMC. Pochodna $\dot s$ zawiera czynnik $\alpha\lambda|e|^{\alpha-1}$ , który dla $\alpha < 1$ rozbiega się przy $e \to 0$ . To prowadzi do singularity w kontrolerze. Tutaj regularyzujemy $|e| \ge \epsilon = 10^{-2}$ dla numerycznej stabilności; formalnie poprawne rozwiązanie to Nonsingular Terminal SMC (NTSMC) — używa $s = e + \lambda\,|\dot e|^\beta\mathrm{sgn}(\dot e)$ , gdzie $\beta > 1$ . Pomijamy szczegóły — pełna implementacja w literaturze (Feng, Yu, Man 2002).

Wykres dolny (log|e|) pokazuje wprost różnicę: linear sliding to linia prosta na log scale (wykładniczy zanik), terminal sliding gwałtownie schodzi w dół po fazie reaching, sięgając floor numeryczny (~10⁻⁵ przez quantization plant) szybciej.

5. Porównanie 4 wariantów

Cztery sterowniki, ten sam plant (MSD z modułu 1), to samo zaburzenie $d(t) = 0.5\sin(8t)$ , ten sam scenariusz (skok $r = 1$ w $t = 0$ , T = 4 s, dyskretny kontroler 5 ms). Tabelka pokazuje liczbowo, kto co kupuje za co.

wariant	⟨\|e\|⟩ w sliding	σ(u)	t (\|e\|<0.05)
klasyczny SMC (sgn)	0.0000	6.00	1.23 s
boundary layer (Φ=0.1)	0.0000	0.34	1.23 s
super-twisting	40.9065	30.33	> 4 s
terminal (α=0.6)	0.0000	6.04	0.83 s

Co czytać z tabeli: ⟨|e|⟩ mówi o precyzji w fazie sliding — im mniej, tym lepiej. σ(u) mówi o chatteringu — im mniej, tym łagodniej dla aktuatora. Czas wejścia w pasmo

|e|<0.05

mówi o szybkości reaching phase. Klasyczny SMC ma najlepszą precyzję ale największy chattering. Boundary layer wymienia precyzję na gładkość. Super-twisting daje prawie najlepszą precyzję z bardzo niskim σ(u) — najlepszy kompromis dla większości zastosowań. Terminal ma szybką zbieżność ale wraca do problemu chatteringu (sgn(s) jest tam nadal w u).

6. Predefined-time SMC — zbieżność w zadanym czasie

Dotychczasowe warianty SMC dają zbieżność w czasie skończonym, ale zależnym od warunku początkowego — dla większego $|s_0|$ dłużej. Predefined-time SMC (PT-SMC, Polyakov 2012, Aldana-López et al. 2019) zmienia tę zależność: czas zbieżności jest parametrem projektowym $T_c$ , niezależnym od stanu początkowego.

Hierarchia własności zbieżności

typ stabilności	czas zbieżności	kontrolowalność T
asymptotyczna	$t \to \infty$	brak — pojęcie nie istnieje
wykładnicza	$\propto e^{-\lambda t}$	parametr $\lambda$ kontroluje szybkość
skończony czas	$T(x_0) < \infty$	zależny od $x_0$
fixed time	$T \le T_{max}$	niezależny od $x_0$ , ale wynikowy z gainów
predefined time	$T \le T_c$	parametr w projekcie

Konstrukcja PT-SMC

Klasyczna konstrukcja Aldana-López et al. (2019) dla $\dot s = u + d$ , $|d| \le D$ :

u = -\frac{1}{p\,T_c}\,|s|^{1-p}\mathrm{sgn}(s) - \frac{1}{(1-p)\,T_c}\,|s|^{1+p}\mathrm{sgn}(s) - K\,\mathrm{sgn}(s)

gdzie $p \in (0, 1)$ , $K > D$ .

Pierwsza składowa $|s|^{1-p}$ jest super-linearna wokół $s = 0$ — przyspiesza zbieżność w okolicy origin.
Druga składowa $|s|^{1+p}$ jest sub-linearna — kontroluje zachowanie dla dużych $|s|$ .
Trzecia $K\,\mathrm{sgn}(s)$ kompensuje zaburzenie.

Górne ograniczenie czasu zbieżności

Dla powyższej konstrukcji można pokazać:

t_{conv} \le \frac{T_c}{p\,(1-p)}.

Przy $p = 1/2$ : $t_{conv} \le 4\,T_c$ . Współczynnik 4 wynika z konstrukcji; istnieją warianty z ostrzejszym ograniczeniem (Sánchez-Torres et al. 2018: $t \le T_c$ dokładnie).

Zastosowania

Misje czasowe — drony bojowe, rakiety, pociski; wymóg „dotrzeć w 4 s" przy nieznanych zaburzeniach.
Synchronizacja MAS — multi-agent systems; wszyscy roboty muszą zbiec do konsensu w tym samym czasie niezależnie od pozycji startowych.
Fault recovery — gdy wykryto uszkodzenie, system musi wrócić do bezpiecznej trajektorii w gwarantowanym czasie.

parametr predefined-time

T_c (zadany czas zbieżności)1.50 s

Cztery różne $s_0$ (od -2 do +2) — wszystkie zbiegają do $s = 0$ najpóźniej w $T_c$ , niezależnie od wartości początkowej. To jest definicja predefined-time stability.

Klasyczne SMC z $\dot s = -k\,\mathrm{sgn}(s)$ daje czas zbieżności $|s_0|/k$ — proporcjonalny do $|s_0|$ , więc dla dużych $s_0$ długi.

Predefined-time SMC (Polyakov 2012, Aldana-López et al. 2019). Trzy hierarchie własności zbieżności:

Asymptotyczna (PID, LQR): $x \to 0$ przy $t \to \infty$ , brak konkretnego czasu.
Skończony czas (klasyczne SMC, terminal): $x \to 0$ w czasie $T(x_0)$ — skończonym ale zależnym od warunku początkowego.
Stały czas (fixed-time): $x \to 0$ w czasie $\le T_{max}$ , ograniczonym dla wszystkich $x_0$ , ale wartość $T_{max}$ wynika z parametrów algorytmu — nie jest wprost projektowana.
Predefined time: $x \to 0$ w czasie $\le T_c$ , gdzie $T_c$ jest parametrem projektowym. Najsilniejsza forma.

Konstrukcja PT-SMC dla dynamiki $\dot s = u + d$ , gdzie $|d| \le D$ :

u = -\frac{\alpha}{p\,T_c}\,|s|^{1-p}\mathrm{sgn}(s) - \frac{\beta}{(1-p)\,T_c}\,|s|^{1+p}\mathrm{sgn}(s) - K\,\mathrm{sgn}(s)

gdzie $p \in (0, 1)$ , $\alpha, \beta > 0$ , $K > D$ . Dwie składowe potęgowe (z różnymi wykładnikami) dają fixed-time. Mnożnik $1/T_c$ w wzmocnieniu daje predefined-time.

Górne ograniczenie czasu zbieżności:

T_{conv} \le \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{1-p} \cdot T_c \cdot \frac{1}{p} + \frac{1}{\beta} \cdot \frac{1}{p} \cdot T_c \cdot \frac{1}{1-p} = \frac{T_c}{\alpha\,p(1-p)} + \frac{T_c}{\beta\,p(1-p)}.

Dla $\alpha = \beta = 1$ i $p = 1/2$ : $T_{conv} \le 8\,T_c$ . Standardowe konstrukcje dostraja się tak, by współczynnik przed $T_c$ był jak najbliżej 1.

Zastosowania: misje czasowe (drony bojowe, rakiety), gdzie wymagany jest deterministyczny czas zakończenia fazy (np. „dotrzeć do celu w 4 s"); robotyka kooperacyjna z wymogami synchronizacji wielu robotów; sterowanie z ograniczeniem czasowym (constraint-time control) w systemach czasu rzeczywistego.

Lektura: Polyakov A. „Nonlinear Feedback Design for Fixed-Time Stabilization of Linear Control Systems" (IEEE TAC 2012); Aldana-López et al. „On the design of new classes of fixed-time stable systems with predefined upper bound for the settling time" (Automatica 2019).

7. Sliding mode observer — robust estymator stanu

Wszystkie poprzednie sterowniki SMC zakładały dostęp do pełnego stanu. W rzeczywistości typowo mamy tylko część stanu (np. encoder mierzy pozycję, ale nie prędkość). Tradycyjne rozwiązanie: obserwator stanu (Luenberger, filtr Kalmana). Problem: te klasyczne obserwatory mają błąd estymacji asymptotyczny, i pod zaburzeniem dają trwały bias.

Idea SMO

Sliding mode observer dodaje do struktury Luenbergera człon nieciągły wstrzyknięty tym samym kanałem co zaburzenie:

\dot{\hat x} = A\,\hat x + B\,u + L\,(y - C\,\hat x) + B\,\nu, \qquad \nu = -\rho\,\mathrm{sgn}(y - C\,\hat x).

Pod warunkiem $\rho > \rho_*$ (gdzie $|\xi| \le \rho_*$ , $\xi$ to nieznane zaburzenie), SMO uzyskuje:

Zbieżność w czasie skończonym wyjścia $C\,\hat x \to y$ .
Zbieżność asymptotyczna nieobserwowanej części stanu, niezależnie od zaburzenia.
Bonus: średnia wartość $\nu$ w fazie sliding rekonstruuje samo zaburzenie. Tj. SMO daje „za darmo" estymator zaburzeń.

Walcott-Żak (1987) — pierwsza forma

Plant z dopasowanym zaburzeniem $\xi$ :

\dot x = A\,x + B\,u + B\,\xi(t), \quad y = C\,x

Założenia: para $(A, C)$ jest obserwowalna, istnieje $P > 0$ i $L$ takie, że $(A - LC)^T P + P(A - LC) < 0$ oraz $PB = C^T$ (warunek macierzowy określający „matched" w sensie estymacji). Pod tymi warunkami obserwator z poprzedniej formuły konwerguje.

Edwards-Spurgeon (1994) — generalizacja

Klasyczna struktura Walcotta-Żaka jest ograniczona warunkiem $PB = C^T$ , który nie zachodzi dla większości planta. Edwards i Spurgeon zaproponowali transformację współrzędnych do postaci kanonicznej obserwatora SMO:

z = T\,x \;\Rightarrow\; \dot z_1 = A_{11} z_1 + A_{12} z_2 + B_1 \xi, \;\; \dot z_2 = A_{21} z_1 + A_{22} z_2, \;\; y = z_1.

W tej postaci $z_1 = y$ (mierzone), $z_2$ (niemierzone). SMO wstrzykuje sgn-człon w równanie $\dot z_1$ , co prowadzi do sliding na $z_1 = \hat z_1$ , a następnie zastosowanie equivalent injection daje rekonstrukcję $z_2$ .

Output-feedback SMC

Połączenie SMO + SMC daje output-feedback SMC: pełny pipeline wyłącznie z mierzonych wyjść. Schemat:

y \;\rightarrow\; \boxed{\text{SMO}} \;\rightarrow\; \hat x \;\rightarrow\; \boxed{\text{SMC}} \;\rightarrow\; u.

Ważne: pojawia się tu interakcja między SMO a SMC. Dla poprawności potrzebne twierdzenie o separacji — dynamikę obserwatora można projektować niezależnie od kontrolera. Dla LTI-SMO twierdzenie zachodzi przy odpowiednich założeniach (Edwards & Spurgeon rozdz. 6); dla ogólnych konstrukcji nieliniowych — nie zawsze.

parametry obserwatora

ρ (wzmocnienie sgn w SMO)2.00

amplituda zaburzenia d0.5

szum pomiarowy0.010

Plant: MSD. Pomiar: tylko pozycja

y = x_1

, prędkość

x_2

trzeba estymować. Plant ma zaburzenie sin + impuls. Porównujemy klasyczny Luenberger (bez sgn) z SMO (z członem ν w kanale B).

Sliding Mode Observer (SMO) — Walcott & Żak (1987), Edwards & Spurgeon. Estymator stanu, który wykorzystuje zasadę sliding mode do uzyskania robust gwarancji w obecności zaburzeń.

Setup

Plant z matched zaburzeniem:

\dot x = A\,x + B\,u + B\,\xi, \quad y = C\,x, \quad |\xi| \le \rho_*

gdzie $\xi$ to nieznane zaburzenie. Klasyczny Luenberger:

\dot{\hat x} = A\,\hat x + B\,u + L\,(y - C\,\hat x)

ma błąd estymacji $\tilde x = x - \hat x$ z dynamiką:

\dot{\tilde x} = (A - LC)\,\tilde x + B\,\xi.

Dla stabilnego $A - LC$ , $\tilde x$ jest ograniczony, ale nie zbiega do zera dopóki $\xi \neq 0$ . Stała wartość $\xi$ daje stały bias estymacji.

SMO struktura

\dot{\hat x} = A\,\hat x + B\,u + L\,(y - C\,\hat x) + B\,\nu, \quad \nu = -\rho\,\mathrm{sgn}(y - C\,\hat x)

gdzie $\rho > \rho_*$ (większy niż ograniczenie zaburzenia). Człon $\nu$ jest wstrzyknięty przez ten sam kanał co zaburzenie (oba mnożone przez $B$ ). Dynamika błędu:

\dot{\tilde x} = (A - LC)\,\tilde x + B\,(\xi - \rho\,\mathrm{sgn}(s_y))

gdzie $s_y = C\,\tilde x = y - \hat y$ . Dla $\rho > \rho_*$ , sliding mode na $s_y = 0$ wymusza, że $y - \hat y = 0$ , co oznacza zbieżność estymacji wyjścia w czasie skończonym. Dalej: dynamika redukowana zachodzi dla pełnego błędu $\tilde x$ .

Equivalent injection — bonus

Po wejściu w sliding na $s_y = 0$ , średnia wartość $\rho\,\mathrm{sgn}(s_y)$ dokładnie kompensuje $\xi$ :

\nu_{eq} = \xi(t) \quad \text{(po wejściu na } s_y = 0).

Czyli SMO nie tylko estymuje stan, ale również rekonstruuje zaburzenie jako filtrowane $\nu_{eq}$ . To „darmowy" estymator zaburzenia, krytyczny dla detekcji uszkodzeń (fault detection) i sterowania adaptacyjnego.

Zastosowania

Estymacja stanu w obecności zaburzeń — samochody (estymacja siły poślizgu), drony (estymacja wiatru).
Fault detection & isolation — $\nu_{eq}$ ma wartości wskazujące rodzaj uszkodzenia.
Output-feedback SMC — gdy nie mamy pełnego stanu, najpierw estymujemy SMO, potem stosujemy SMC na estymacie.

Spróbuj: ρ = 0 redukuje SMO do zwykłego Luenbergera — błąd estymacji rozjeżdża się przy zaburzeniu. ρ = 2 (większy niż amplituda zaburzenia 0.5) — SMO trzyma błąd blisko zera. Zwiększ szum: SMO nie radzi sobie idealnie (chattering w estymacie ẋ widoczny), Luenberger jest gładszy. Klasyczny tradeoff.

8. Pozostałe warianty — HOSM, adaptive, output-feedback

Trzy obszary, których pełne wyłożenie wymaga osobnych modułów, ale warto wiedzieć że istnieją.

Higher-Order Sliding Modes (HOSM)

Klasyczne SMC wymusza $s = 0$ . Higher-order SMC wymusza dodatkowo $\dot s = 0, \ddot s = 0, \ldots, s^{(r-1)} = 0$ . Super-twisting (z §3) jest specjalnym przypadkiem r=2.

Klasyfikacja Levant (1993, 2003):

Twisting algorithm — drugiego rzędu, z czterema parametrami; bez singularity dla wszystkich $s$ , ale wymaga znajomości $\dot s$ .
Super-twisting — drugiego rzędu, ciągłe $u$ , wymaga znajomości tylko $s$ . Stąd jest najczęściej stosowane.
Quasi-continuous — uogólnienie na rząd r z prawem stałożalonym.
Discontinuous integral — dyskontynuość nadal w pochodnej, sprowadzona do rzędu integratora.

Wybór rzędu r wynika z dynamiki planta i pożądanej dokładności w sliding. Wyższy r = lepsza precyzja przy dyskretyzacji (chattering jest $\propto T_s^r$ zamiast $T_s$ ), ale wymaga znajomości większej liczby pochodnych $s$ .

Lektura: Shtessel, Edwards, Fridman, Levant „Sliding Mode Control and Observation" (2014), rozdz. 4–5.

Adaptive SMC

Klasyczne SMC wymaga znajomości górnego ograniczenia $D$ zaburzenia. Gdy $D$ jest nieznane lub zmienne w czasie, używa się adaptive SMC: wzmocnienie $\eta$ jest aktualizowane online tak, by zawsze było większe od bieżącego $|d|$ .

Klasyczne prawo adaptacji (Plestan et al. 2010):

\dot \eta = \begin{cases} K\,|s|, & |s| > \epsilon \\ 0, & |s| \le \epsilon \end{cases}

Gain rośnie tak długo, jak trajektoria jest poza pasem $\epsilon$ wokół manifoldu. Po wejściu w pas — $\eta$ się stabilizuje. Wartość ustalona $\eta$ będzie dokładnie taka, jak potrzebna do kompensacji aktualnego zaburzenia.

Wariant tego — barrier function adaptive SMC (Obeid et al. 2018) — dostosowuje $\eta$ tak, że $|s|$ nigdy nie przekracza ustalonego progu. Praktycznie eliminuje overshoot w fazie reaching.

Output-feedback SMC

Już omówione w §7. Krótko: kompozycja SMO i SMC. Główne tematy badawcze: warunki zbieżności pod redukowaną obserwowalnością, separation principle dla nieliniowych układów, robustność na unmatched zaburzenia.

Mapa terenu — co kiedy

scenariusz	wariant SMC
klasyczny problem regulatora, znane D	klasyczne SMC (moduł 3)
aktuator nie wytrzyma chatteringu	boundary layer (§1) lub super-twisting (§3)
wymóg zbieżności w czasie skończonym	terminal SMC (§4)
wymóg zbieżności w gwarantowanym czasie T_c	predefined-time SMC (§6)
nieznane ograniczenie zaburzenia	adaptive SMC (§8)
tylko część stanu mierzona	output-feedback SMC = SMO + SMC (§7)
plant wyższego rzędu, wymóg precyzji	HOSM (§8) — twisting, quasi-continuous
wykrywanie uszkodzeń	SMO + analiza ν_eq (§7)

Co świadomie pomijam

Higher-order SMC w pełnej ogólności (3., 4. rząd). Super-twisting to specjalny przypadek drugiego rzędu z polynomial homogeneity; uogólnienia (twisting, drift, prescribed convergence) wykraczają poza ten kurs.
Adaptive SMC — kontrolery, które same dostrajają $\eta$ w trakcie pracy, bez znajomości ograniczenia $D$ . Pojawia się w module 8 obok MRAC.
Integral SMC — surface zawierająca człon całkujący, daje matched-disturbance rejection idealne nawet dla niezerowego $d$ stałego.
Continuous SMC przez continuous twisting (Levant 2007) — w pełni gładkie u i s, ale wymaga znajomości $\dot s$ , czyli pochodnej rzędu drugiego (nie zawsze mierzalnej).