Control Platform — Algorytmy sterowania w praktyce

Identyczny scenariusz, różne kontrolery

Po pięciu modułach dydaktyki czas na uczciwe porównanie. Plant: cart-pole zlinearyzowany wokół pionu (M = 1, m = 0.1, ℓ = 0.5). Stan początkowy $x_0 = [0, 0, 0.3, 0]$ (wahadło na 0.3 rad ≈ 17° od pionu, wózek nieruchomy w origin). W $t = 2$ s wstrzykujemy impulsowe zaburzenie kątowe $\Delta\dot\theta = +0.6$ . Czas symulacji 8 s, RK4 z $\Delta t = 2$ ms.

Siedmiu kontrolerów współzawodniczy: PID i PID + anti-windup z modułu 2, SMC klasyczne, SMC z boundary layer, SMC super-twisting z modułów 3 i 4, LQR i MPC z saturacją z modułu 5. Wszystkie używają tej samej bazy LQR (gain z DARE dla $Q = \mathrm{diag}(2, 1, 30, 5)$ , $R = 0.5$ ) — różnią się tylko dodatkami specyficznymi dla rodziny.

Wskaźniki

Liczymy siedem metryk dla każdej trajektorii:

t_settle — czas, od którego $|\theta| < 0.02$ rad pozostaje na trwałe. „—" oznacza, że kontroler nie wszedł w pasmo do końca symulacji.
max |θ|, max |x| — peak odchyleń kąta i pozycji wózka. Mówią o najgorszym chwilowym zachowaniu.
IAE = $\int_0^T |\theta(t)|\, dt$ — całkowity błąd absolutny. Jedna liczba syntetyzująca cały profil odchyleń.
ITAE = $\int_0^T t \cdot |\theta(t)|\, dt$ — całkowity błąd absolutny ważony czasem. Penalizuje błędy późne mocniej niż wczesne — odzwierciedla preferencję dla szybkiego oczyszczenia transient.
∫u² dt — energia sterowania. Mówi o koszcie operacyjnym (zużycie energii silnika, zużycie aktuatora).
max |u| — peak sterowania. Krytyczne, gdy aktuator ma fizyczne ograniczenie.

Brak jednego najlepszego kontrolera — jest tylko najlepszy pod zadane wymagania. Sortowanie tabeli poniżej po różnych kolumnach pokazuje to wprost.

kontroler	t_settle	max \|θ\|	max \|x\|	IAE θ▲	ITAE θ	∫u² dt	max \|u\|
ST-SMC SMC super-twisting	0.42 s	0.300 rad	6.146 m	0.081	0.040	8.79	12.90 N
PID PID	3.12 s	0.300 rad	0.611 m	0.202	0.288	9.64	11.25 N
LQR LQR	3.13 s	0.300 rad	0.616 m	0.204	0.297	9.58	11.25 N
PID-AW PID + anti-windup	3.12 s	0.300 rad	0.641 m	0.204	0.260	9.57	7.00 N
SMC SMC klasyczne	3.52 s	0.300 rad	1.725 m	0.211	0.352	29.31	14.25 N
MPC MPC z \|u\| ≤ u_max	3.10 s	0.300 rad	0.661 m	0.216	0.308	9.34	7.00 N
SMC-BL SMC boundary layer	4.53 s	0.300 rad	1.584 m	0.249	0.592	10.27	14.25 N

Klikaj nagłówkiżeby sortować. Kontroler bez wpisu w kolumnie t_settle nie wszedł w pasmo |θ|<0.02 rad do końca symulacji. Energia ∫u² dt w jednostkach N²·s. Wszystkie kontrolery używają tej samej bazy LQR z modułu 5 (gainów obliczonych z DARE) — różnice biorą się z dodatków rodzinowych: PID dodaje I·∫θ, SMC dodaje sgn/sat/ST, MPC saturuje. Pełne implementacje w odpowiednich modułach (klikalne nazwy).

Co czyta się z wyników

Trzy klasyczne obserwacje, które warto sprawdzić sortowaniem tabeli:

LQR i PID mają identyczną metryką ∫u² dt dla tego samego problemu liniowego bez ograniczeń. To nie przypadek — LQR jest z definicji minimalizatorem $\int (x^T Q x + R u^2) dt$ , a PID dla tego planta jest blisko niego (różni się tylko I-term, który dla braku stałego zaburzenia daje znikomy wkład).
MPC z saturacją oszczędza peak |u| kosztem trochę gorszego ITAE. Saturacja przy 7 N to świadome ograniczenie: zamiast pozwolić u sięgnąć ~12 N jak LQR, MPC trzyma się 7 N i akceptuje wolniejszą odpowiedź. Dla aktuatorów z limitem fizycznym to JEDYNY sposób gwarantowanego sterowania.
SMC klasyczne ma najwyższy peak |u| przez chattering — sterowanie skacze między ±η. SMC z boundary layer i super-twisting mają niższe peaki kosztem trochę gorszej precyzji w fazie sliding (widać to na overlay wykresu u(t) — klasyczny SMC ma postrzępione krawędzie, ST gładkie).

Kiedy który kontroler — praktyczna ściąga

scenariusz	preferowany kontroler	dlaczego
Plant liniowy, znany, bez ograniczeń	LQR	analityczny, optymalny, brak setupu QP
Plant liniowy, ograniczenie u_max	MPC	jawnie obsługuje constraint w optymalizacji
Plant liniowy, znane stałe zaburzenie	PID + anti-windup	I-term zeruje błąd ustalony, AW chroni przed wind-upem
Plant nieliniowy, ograniczone matched zaburzenie	SMC klasyczne (jeśli akceptujesz chattering)	formalna gwarancja zbieżności w czasie skończonym
j.w. + wymóg gładkiego u (silnik, zawór)	SMC super-twisting	gładkie u bez utraty robustności
Embedded, krótki czas obliczeń	PID lub Explicit MPC	PID — kilka mnożeń per krok; explicit MPC — lookup tablica
Plant nieliniowy, znany, z ograniczeniami	NMPC (poza tym kursem — moduł 5 stuby)	jedyna metoda jednocześnie obsługująca nieliniowość, ograniczenia, optymalność
Parametry planta zmieniają się w czasie	MRAC / gain scheduling (moduł 8)	kontroler sam dostraja gainy

Ograniczenia tego benchmarku

Trzy zastrzeżenia, które trzeba wprost wskazać:

Cart-pole zlinearyzowany— pełen model nieliniowy zmieniłby ranking. Dla θ > 30° linearyzacja przestaje obowiązywać i pokazuje fałszywe trajektorie. Dla poprawnego porównania pod tym scenariuszem patrz moduł 1 §2, który pokazuje kiedy linearyzacja zawodzi.
Brak zaburzeń pomiarowych — wszystkie kontrolery mają idealny dostęp do pełnego stanu. W rzeczywistości $\theta$ mierzy enkoder z kwantyzacją, $\dot\theta$ liczone jest z różnic numerycznych albo żyroskopu z biasem. SMC i kontrolery z D-termem wzmacniają szum — w tym benchmarku nie widać tej różnicy, ale w praktyce zmienia rankingi dramatycznie.
Wszystkie kontrolery z bazą LQR — w istocie porównuję „LQR + dodatek". Dla autentycznego SMC bez bazy LQR (z własną powierzchnią ślizgową w 4 wymiarach) ranking metryk wyglądałby inaczej, ale projekt powierzchni dla cart-pole'a w pełni nieliniowego wymaga osobnej pracy (Edwards & Spurgeon rozdz. 4–5, lub Slotine & Li rozdz. 7).

Mimo tych ograniczeń benchmark daje jakościowy obraz charakterów rodzin kontrolerów. Tradeoffy są dobrze wystawione: chattering w SMC, peak u w LQR/PID, oszczędność u w MPC, AW w PID + saturacja.