Control Platform — Algorytmy sterowania w praktyce

1. Mismatch modelu — gdy plant kłamie kontrolerowi

Wszystkie trzy kontrolery (PID, SMC, LQR) są zaprojektowane pod nominalny mass-spring-damper z $m=1, c=2, k=4$ . Zmieniamy rzeczywistą masę planta. Kontroler tego nie wie — używa nominalnych parametrów we wszystkich swoich wzorach ( $u_{eq}$ w SMC, gain LQR, feedforward w PID).

rzeczywista masa planta

log₁₀ (m_actual / m_nominal)0.00

parametry

m nominal1.00 kgm actual1.00 kgmismatch0%

Wszystkie 3 kontrolery zaprojektowane pod m = 1 kg. Plant ma masę m × 1.00. Skok r = 1 w t = 0.

PID

IAE0.680peak |u|12.00 Ne_ss-0.020

SMC

IAE0.623peak |u|9.02 Ne_ss0.000

LQR

IAE0.502peak |u|10.68 Ne_ss0.000

Mismatch m oznacza, że aktuator dla tej samej siły daje różne przyspieszenie niż controller się spodziewa. Każdy regulator interpretuje to inaczej:

PID z I-termem zauważa, że plant nie idzie dokładnie tam, gdzie planował, i koryguje. Przy 50% mismatch transient wydłuża się, ale e_ss zostaje zerowane.
SMC najmniej dotknięty — projekt opiera się na ograniczonym matched uncertainty. Mismatch m to dokładnie takie zaburzenie, na które SMC ma formalną gwarancję jeśli η jest dobrane wystarczająco duże.
LQR użył gainów dostrojonych pod nominalny m. Pod większym m → kontroler jest „za słaby" (zachowuje się jak pod-tłumiony PD); pod mniejszym → „za silny" (skutek zbliżony do nadtłumienia z większym przeregulowaniem). Brak mechanizmu samokorekty na mismatch.

Spróbuj m × 2 (logRatio = +0.3): SMC nadal trafia w cel; PID też, ale wolniej; LQR ma większy steady-state error bo brakuje I-termu. Spróbuj m × 0.3 (logRatio = −0.5): wszystkie zaczynają oscylować, bo system stał się szybszy niż projekt zakładał.

2. Szum pomiarowy

Szum w pomiarze przepływa przez kontroler do sygnału sterowania. Szum w $u$ trafia do planta i albo modulowany jest niskoprzepustowym charakterem dynamiki, albo wzbudza jego rezonanse, albo niszczy aktuator. Dla idealnego filtra szumu i każdego z naszych kontrolerów, RMS szumu w u jest proporcjonalny do gain kontrolera w paśmie szumu.

Każdy z naszych regulatorów ma inną strukturę gainu:

PID: $K_p \cdot \Delta y + K_d \cdot \Delta\dot y$ . Człon D wzmacnia szum derivative — bez filtra na D regulator literalnie różniczkuje szum.
SMC: $\eta \cdot \mathrm{sgn}(s)$ . Szum w y i ẏ wpływa na s; przy każdym przejściu zera s regulator przerzuca u o ±2η. Najgorszy przypadek dla szumu.
LQR: $K \cdot [\Delta y, \Delta\dot y]^T$ . Liniowe wzmocnienie — duże K[1] (wzmocnienie ẏ) wzmacnia szum. Standard remediation: filtr Kalmana (LQG).

szum pomiarowy

σ_y (odchylenie szumu y)0.020 m

Szum dodawany do pomiaru y i ẏ przed feedem do kontrolera. Szum ẏ ma 5× większe σ — odzwierciedla to fakt, że pochodna estymowana z różnicy lub żyroskopu jest znacząco bardziej hałaśliwa niż sam pomiar pozycji.

Ten sam seed dla rngY i rngYdot we wszystkich kontrolerach — różnice w u(t) wynikają z różnych przepustów wzmocnień, nie z innego szumu.

PID

RMS u10.99

SMC

RMS u4.76

LQR

RMS u1.18

Szum pomiarowy to stały problem każdej implementacji praktycznej. Każdy kontroler reaguje inaczej:

SMC jest najwrażliwszy — funkcja $\mathrm{sgn}(s)$ przerzuca u o ±2η przy każdym przejściu zera s, a szum w y i ẏ powoduje, że s przechodzi przez zero średnio kilka razy częściej. Skutek: u jest niemal white noise z amplitudą bliską η. Boundary layer i super-twisting (moduł 4) są standardowymi remediami.
PID z D-termem ma podobny problem — różniczka szumu jest jeszcze bardziej hałaśliwa. Filtr na D (moduł 2 §4) tłumi to znacząco. Bez filtra D-term wzmacnia szum proporcjonalnie do K_d/dt.
LQR jest bardziej odporny — jego gainy są ograniczone projektem, brak D-termu w klasycznym sensie. Ale gdy K[1] (wzmocnienie ẋ) jest duże, też wzmacnia szum w ẏ. Standard rozwiązaniem jest filtr Kalmana, który optymalnie łączy pomiary z modelem (moduł nieobjęty kursem; patrz /topics/lqg).

Spróbuj σ = 0: wszystkie kontrolery zachowują się czysto. σ = 0.1: SMC u(t) wygląda jak biały szum, PID ma duże skoki, LQR najgładszy.

3. Zaburzenia stanu, wejścia i pomiaru

Zaburzenie wchodzi do układu jednym z trzech kanałów. Każdy kanał ma inne implikacje strukturalne — i żaden kontroler nie radzi sobie ze wszystkimi trzema na raz.

typ zaburzenia:

Trzy typy zaburzeń wchodzą do układu różnymi kanałami i mają różne konsekwencje:

\dot x_1 = x_2,\quad \dot x_2 = \tfrac{1}{m}(u + d_{matched}) + d_{state},\quad y = x_1 + d_{meas}

Matched ( $d_{matched}$ ): zaburzenie wchodzące tym samym kanałem co sterowanie. Klasyczny przykład: nieznane tarcie, zewnętrzna siła pchająca masę. SMC ma na to formalną gwarancję — jeśli $\eta > |d|$ , układ wraca do $s = 0$ . PID z I-term też kompensuje, ale wolniej. LQR bez I — ma trwały błąd.
Unmatched ( $d_{state}$ ): zaburzenie wpływające bezpośrednio na stan, omijając kanał sterowania. Klasyczny przykład: szok aerodynamiczny na inną oś niż sterowana. Żaden kontroler nie ma na to formalnej gwarancji w kanonicznych formulacjach SMC; potrzebne są rozszerzenia (back-stepping, robust SMC).
Measurement ( $d_{meas}$ ): bias w sensorze. Kontroler myśli, że pozycja jest przesunięta o $d_{meas}$ , więc steruje by przesunąć rzeczywistą pozycję w odwrotną stronę. Wszystkie 3 kontrolery dostają tę samą porażkę: y rzeczywiste odsuwa się od r o $d_{meas}$ , bo z perspektywy kontrolera „jest na celu". Filtr Kalmana / observer redukuje to o ile bias jest dynamiczny; trwały bias wymaga estymatora biasów.

4. H∞ — robustna synteza w jednym akapicie

Wszystkie kontrolery, które do tej pory rozważaliśmy, są projektowane pod nominalny model i ich robustność jest analizowana post hoc (np. tu, w tym module).H∞ robi rzecz odwrotną: projektuje kontroler tak, by minimalizować worst-case wzmocnienie od zaburzeń do wyjść w klasie ograniczonych zaburzeń. Synteza gwarantuje robustność z konstrukcji.

Idea w jednym wzorze. Niech $T_{wz}(s)$ będzie transmitancją w układzie zamkniętym od zaburzeń $w$ (dowolnych — pomiary, plant, sterowanie) do wyjść interesujących $z$ (uchyb, energia sterowania, etc.). Synteza H∞ szuka kontrolera $K(s)$ minimalizującego:

\|T_{wz}\|_\infty = \sup_\omega \bar\sigma(T_{wz}(j\omega)).

Tu $\bar\sigma$ to największa wartość singularna — dla SISO to po prostu moduł funkcji przenoszenia. Norma $H_\infty$ to najgorsze wzmocnienie po wszystkich częstotliwościach. Minimalizacja oznacza: niech żadna częstotliwość zaburzeń nie da więcej niż $\gamma$ .

W praktyce projektowej używa się weighted mixed sensitivity:

\min_K \left\|\begin{bmatrix} W_S\, S \\ W_T\, T \\ W_{KS}\, KS \end{bmatrix}\right\|_\infty

gdzie $S$ i $T$ to funkcje sensitivity i komplementarna sensitivity, a $W_S, W_T, W_{KS}$ to wagi kształtujące pożądane zachowanie częstotliwościowe ( $W_S$ wymusza odrzucanie zaburzeń niskoczęstotliwościowych, $W_T$ odrzucanie szumu wysokoczęstotliwościowego, $W_{KS}$ ogranicza wysiłek sterowania).

Synteza rozwiązuje się przez parę sprzężonych równań Riccatiego (algorytm DGKF, Doyle Glover Khargonekar Francis 1989) lub LMI. Wymaga setupu — zaprojektowania funkcji wag, wybór parametru $\gamma$ w γ-iteration, walidacja modelu niepewności.

Kiedy warto: gdy mamy formalną specyfikację robustności (np. „kontroler musi działać dla każdego planta z normą niepewności $\le W$ "). Standardowo w lotnictwie, energetyce, sterowaniu reaktorem chemicznym. Dla aplikacji „prostych" (małe układy mechaniczne, regulacja temperatury) PID/LQR z odpowiednim marginesem stabilności wystarczają i są tańsze projektowo.

Dalsza lektura w atlasie: /topics/h-infinity. Kanon: Skogestad & Postlethwaite „Multivariable Feedback Control", rozdz. 9.

Robustność i niepewność