Moduł 02 · klasyczne

Regulator PID

Człony P/I/D w izolacji i razem, tuning Z-N, anti-windup, derivative kick, feed-forward.

Wzór i intuicja

Trzy człony, jedna definicja, każdy z jasną rolą:

u(t) = K_p\,e(t) \;+\; K_i\!\int_0^t e(\tau)\,d\tau \;+\; K_d\,\dot e(t), \qquad e = r - y.

P (proportional) — natychmiastowa odpowiedź na błąd. Większe $K_p$ oznacza szybszą reakcję, ale i większe oscylacje. Dla plant typu $1/(ms^2 + cs + k)$ sam P daje uchyb ustalony $e_{ss} = k/(k + K_p)$ .
I (integral) — akumuluje błąd w czasie. Tak długo jak $e \neq 0$ , całka rośnie i sygnał sterowania się zmienia. Konsekwencja: jedyny sposób na uzyskanie zerowego uchybu ustalonego pod stałym zaburzeniem. Cena: opóźnienie fazowe (90°), które przyczynia się do oscylacji.
D (derivative) — reaguje na tempo zmiany błędu. Działa jak „przewidywanie": jeśli błąd rośnie szybko, D dorzuca dodatkowe sterowanie wcześniej, niż zrobiłby to sam P. Tłumi oscylacje. Cena: wzmacnia szum pomiarowy (różniczka szumu jest jeszcze hałaśliwsza) i ma problem z derivative kick przy skokach referencji.

wzorzec liczbowy

PID na MSD — 4 pierwsze kroki krok-po-kroku

scenariusz

Plant MSD:

m = 1

c = 2

k = 4

. Stan początkowy

x_0 = 0

\dot x_0 = 0

. Referencja

r = 1

(skok w

t=0

). PID:

K_p = 8

K_i = 4

K_d = 2

. Całkowanie: jawny Euler z

\Delta t = 0{.}01

. Aproksymacja pochodnej:

\dot e \approx (e_k - e_{k-1})/\Delta t

, całka:

I_k = I_{k-1} + e_{k-1} \cdot \Delta t

Iteracja kontrolera: $u_k = K_p\,e_k + K_i\,I_k + K_d\,\dot e_k$ . Dynamika plant: $\ddot x = (u - c\dot x - k x)/m$ . Schemat Euler: $x_{k+1} = x_k + \Delta t \cdot \dot x_k$ , $\dot x_{k+1} = \dot x_k + \Delta t \cdot \ddot x_k$ .

k	t	x	ẋ	e	I	ė	u	ẍ
0	0.0000	0.0000	0.0000	1.0000	0.0000	0.0000	8.0000	8.0000
1	0.0100	0.0000	0.0800	1.0000	0.0100	0.0000	8.0400	7.8800
2	0.0200	0.0008	0.1588	0.9992	0.0200	−0.0800	7.9136	7.5928
3	0.0300	0.0024	0.2347	0.9976	0.0300	−0.1588	7.7832	7.3043
4	0.0400	0.0047	0.3078	0.9953	0.0400	−0.2347	7.6300	7.0234

▸ Wyprowadzenie wiersza

k = 2

ręcznie

Z wiersza $k=1$ mamy $x=0$ , $\dot x = 0{.}08$ , $\ddot x = 7{.}88$ . Aktualizacja Euler:

$x_2 = 0 + 0{.}01 \cdot 0{.}08 = 0{.}0008$

$\dot x_2 = 0{.}08 + 0{.}01 \cdot 7{.}88 = 0{.}1588$

$e_2 = 1 - 0{.}0008 = 0{.}9992$

$I_2 = I_1 + e_1 \cdot \Delta t = 0{.}01 + 1 \cdot 0{.}01 = 0{.}02$

$\dot e_2 = (0{.}9992 - 1) / 0{.}01 = -0{.}08$

$u_2 = 8 \cdot 0{.}9992 + 4 \cdot 0{.}02 + 2 \cdot (-0{.}08) = 7{.}9936 + 0{.}08 - 0{.}16 = 7{.}9136$

$\ddot x_2 = (7{.}9136 - 2 \cdot 0{.}1588 - 4 \cdot 0{.}0008)/1 = 7{.}5928$

Wszystkie liczby wyliczone ręcznie i zaokrąglone do 4 miejsc. Wpisz te wartości startowe do swojego kodu — jeśli kolejne kroki masz inne, masz błąd w implementacji.

1. Człony P, I, D w izolacji

Cztery konfiguracje na tym samym plant (mass-spring-damper z modułu 1), pod tym samym skokiem referencji. Pokazują, co każdy człon robi w izolacji i jak składają się razem.

wzmocnienia (wspólne dla wszystkich wariantów)

K_p8.0

K_i4.00

K_d2.00

Plant: masa-sprężyna-tłumik z modułu 1 (m=1, c=2, k=4). Skok referencji

r = 1

t = 0

, czas symulacji 6 s. Cztery panele poniżej pokazują tę samą plant pod czterema różnymi konfiguracjami regulatora — Twoje suwaki wpływają na wszystkie naraz.

tylko PK_p=8.0 · K_i=0.00 · K_d=0.00

e_ss: 0.330M_p: 0.0%

Błąd ustalony niezerowy — brak mechanizmu eliminacji uchybu.

P + IK_p=8.0 · K_i=4.00 · K_d=0.00

e_ss: 0.040M_p: 9.0%

Człon I zeruje uchyb ustalony, ale wprowadza opóźnienie fazowe — większe oscylacje.

P + DK_p=8.0 · K_i=0.00 · K_d=2.00

e_ss: 0.330M_p: 0.0%

D tłumi pochodną błędu — mniej oscylacji, ale uchyb ustalony zostaje.

P + I + DK_p=8.0 · K_i=4.00 · K_d=2.00

e_ss: 0.030M_p: 0.0%

Pełny PID — i bez uchybu, i z tłumieniem oscylacji.

Co tu widać. Tylko-P stabilizuje, ale na poziomie poniżej referencji — to uchyb ustalony regulatora P na plant typu 1/(ms²+cs+k). Wartość:

e_{ss} = k/(k + K_p)

, dla

K_p = 8

k = 4

daje

e_{ss} = 4/12 = 0.33

. Dorzucenie I-członu zeruje błąd kosztem oscylacji (faza całki to −90°). D dodaje tłumienie ale sam nie radzi sobie z błędem ustalonym. Pełny PID łączy zalety. Zwiększ

K_p

przy

K_d = 0

— zobaczysz, że oscylacje rosną. Dorzuć

K_d

i wracają pod kontrolę.

2. Strojenie — Ziegler-Nichols i ręczne

Ziegler i Nichols zaproponowali w 1942 dwie recepty empiryczne — z ich pomocą można dostroić PID bez znajomości modelu. Pierwsza, którą tu prezentujemy, polega na doprowadzeniu zamkniętej pętli do oscylacji na granicy stabilności i odczytaniu dwóch liczb: wzmocnienia krytycznego $K_u$ i okresu drgań $T_u$ .

Dla naszego prostego mass-spring-damper'a Z-N nie zadziała — układ drugiego rzędu z dodatnim tłumieniem nigdy nie osiąga granicznych oscylacji pod sterowaniem czysto proporcjonalnym (bieguny pozostają w lewej półpłaszczyźnie dla $K_p > 0$ ). Potrzebujemy plant wyższego rzędu; tutaj używamy kanonicznego $G(s) = 1/(s+1)^3$ , dla którego $K_u = 8$ i $T_u = 2\pi/\sqrt{3} \approx 3.63$ s.

wzmocnienia

K_p4.80

K_i2.65

K_d2.18

presety Z-N

Klasyczna recepta Z-N. ~25% przeregulowania. Standardowy punkt startowy w przemyśle.

dane Z-N dla tego planta

K_u (gain ultim.)8.00T_u (okres)3.628 speak |y|1.530M_p53.0 %t_s (±2%)10.11 s

Recepta Zieglera-Nicholsa (zamknięta pętla, 1942). Procedura w trzech krokach:

Wyłącz I i D ( $K_i = K_d = 0$ ), zwiększaj $K_p$ aż pętla zacznie oscylować ze stałą amplitudą — to jest wzmocnienie krytyczne $K_u$ .
Zmierz okres oscylacji $T_u$ .
Odczytaj wzmocnienia z tabeli:

\text{Z-N classic:}\quad K_p = 0.6\,K_u,\quad T_i = T_u/2,\quad T_d = T_u/8 \;\Rightarrow\; K_i = K_p/T_i,\; K_d = K_p\,T_d.

Recepta jest punktem startowym, nie końcowym — daje typowo ~25% przeregulowania, co dla wielu zastosowań jest za dużo. Standardowo dostraja się dalej ręcznie albo wybiera wariant „no overshoot" / „some overshoot". Dla układów z dużym opóźnieniem transportowym (procesowych) bardziej miarodajna jest druga metoda Z-N — z odpowiedzi skokowej w otwartej pętli (parametry $L$ , $T$ ). Tutaj pokazujemy wariant z domkniętą pętlą jako pedagogicznie najprostszy.

Spróbuj: wybierz preset „P @ K_u" — zobaczysz oscylacje stałej amplitudy z okresem ≈ 3.63 s. Dla wartości $K_p$ nieco większej niż $K_u$ układ się rozbiega; mniejszej — oscylacje wygasają. Punkt krytyczny jest „na ostrzu noża".

3. Anti-windup — clamping i back-calculation

Każdy aktuator fizyczny ma graniczne wartości — silnik prądu stałego nie wytwa moment większy niż $K_t \cdot i_{a,max}$ , zawór nie otworzy się więcej niż na 100%. Z perspektywy regulatora to saturacja: $u$ przycinane do $[u_{min}, u_{max}]$ .

W obecności saturacji zwykłe PID popełnia subtelny błąd: integrator dalej akumuluje, mimo że jego wkład $K_i \int e$ nie ma wpływu na faktyczne sterowanie. Po wyjściu z saturacji regulator musi „odkręcić" zgromadzone napięcie — odpowiedź ma długi ogon i często duże przeregulowanie. Anti-windup to dwie standardowe poprawki: clamping (warunkowa integracja) i back-calculation.

wzmocnienia regulatora

K_p6.0

K_i8.0

K_d2.0

scenariusz

MSD (m=1, c=2, k=4), saturacja u ∈ [-1.5, 1.5], skok r=1 w t=0, zaburzenie d=−1.5 w t=5 s. Trzy regulatory na tych samych wzmocnieniach, różniące się tylko strategią obsługi saturacji.

Wind-up (rozbieganie integratora) pojawia się, gdy $u$ wpada w saturację, ale błąd $e$ nadal jest niezerowy — integrator akumuluje, mimo że dodatkowy wkład $K_i \int e$ nie ma wpływu na sterowanie. Kiedy saturacja ustaje, regulator musi „odkręcić" zgromadzony zapas — to długi ogon w odpowiedzi.

Clamping (warunkowa integracja): gdy $u$ jest na granicy i błąd pcha sterowanie głębiej w saturację, integrator po prostu zatrzymuje się — nie przyrasta i nie maleje. Prosta i niezawodna technika; standard w PLC.

Back-calculation: integrator dostaje aktywną korektę proporcjonalną do różnicy $(u - u_{raw})$ (nasza „dziura"):

\dot I = e + K_{bc}\,(u_{sat} - u_{raw})

Domyślnie $K_{bc} = 1/K_p$ . Daje gładsze przejścia w obie strony saturacji niż clamping, kosztem dodatkowego parametru do dostrojenia. Spójrz na panel członu I — bez AW całka osiąga ekstremalne wartości po impulsie zaburzenia, podczas gdy z AW pozostaje w sensownym przedziale i odbicie y do referencji jest szybsze.

4. Derivative kick i filtr na D

Druga klasyczna pułapka PID: derivative kick. Gdy referencja zmienia się skokowo, klasyczne $D = K_d \cdot \dot e$ generuje impulsowy strzał w sterowaniu, który może uszkodzić aktuator albo wprowadzić go w głęboką saturację. Dwa rozwiązania: liczyć D od pomiaru zamiast od błędu, lub przepuścić D przez filtr dolnoprzepustowy.

parametry regulatora

K_p8.0

K_i2.00

K_d3.00

pasmo filtra D (N)20 rad/s

peak |u| (mierzone)

D na e (klasyczny)608.00D na −y (PI-D form)8.00D na e + filtr LP62.55

Ostry skok r w t=0.5s wymusza idealnie pochodną delty, której Kd · de/dt aproksymuje skokiem sięgającym aż 1/dt razy większym niż w wariancie z D na −y.

Derivative kick. Klasyczne PID liczy $D = K_d \cdot \dot e = K_d \cdot \tfrac{d}{dt}(r - y)$ . Gdy $r$ jest sygnałem skokowym, $\dot r$ jest impulsem Diraca, a $\dot e$ w jednej chwili sięga $\Delta r / \mathrm{d}t$ — w cyfrowej implementacji równe $\Delta r / T_s$ , czyli setki razy większe niż wartości robocze. Aktuator dostaje krótki potężny impuls, co może uszkodzić sprzęt albo wyjść w saturację głęboko.

Rozwiązanie 1: D na pomiarze. Zauważ, że $\dot e = \dot r - \dot y$ . Dla układu z ciągłą dynamiką $\dot y$ jest gładkie. Możemy więc liczyć $D = -K_d \cdot \dot y$ — sterowanie zadziała tak samo dla zaburzeń (gdzie $\dot r = 0$ i tak), ale nie zareaguje impulsowo na skok referencji. Ten wariant nazywa się formalnieI-PD albo typu B (P + I po e, D po −y).

Rozwiązanie 2: filtr dolnoprzepustowy na D. Zostawiamy $D = K_d \cdot \dot e$ , ale przepuszczamy przez filtr 1. rzędu o paśmie $N$ :

D_f(s) = \frac{K_d \cdot s}{1 + s/N} \cdot e(s)

Filtr zamienia idealną pochodną na pochodną „pasmowo-ograniczoną" — dla skoku $r$ , $D_f$ osiąga maksimum $K_d \cdot N$ (nie nieskończoności), a potem opada eksponencjalnie. Im większe $N$ , tym ostrzejszy filtr; $N \to \infty$ odzyskuje idealne D.

W praktyce: D-na-y używa się gdy referencja jest „brutalna" (skoki, kwadratowe sygnały), filtra — gdy mamy szum pomiarowy i łagodne referencje. Często łączy się obie techniki naraz.

Co ten moduł świadomie pomija

Feed-forward dla śledzenia trajektorii ( $u_{ff} = m\ddot r + c\dot r + k r$ obok PID na uchybie) — częściowo pokazane w module 0 §2.
Druga metoda Z-N z odpowiedzi skokowej w otwartej pętli (parametry $L, T$ ) — bardziej użyteczna w przemyśle procesowym.
Cohen-Coon, IMC, lambda-tuning — alternatywne recepty empiryczne, każda ze swoimi zaletami w specyficznych klasach planta.
PID dla manipulatora odwróconego (cart-pole) — w module 0 §5 pokazaliśmy, że PID stabilizuje, ale jest to regulator wbudowany w schemat full-state. Pełen projekt PID dla cart-pole wymaga zewnętrznej pętli położeniowej i wewnętrznej kątowej (struktura kaskadowa).