Systemy z opóźnieniem

1. Skąd biorą się opóźnienia

Klasyczne źródła opóźnień w sterowaniu:

• Transport materiałowy — woda w rurach, tworzywa w wytłaczarce, taśma produkcyjna. Czas dotarcia ≈ długość / prędkość.
• Pomiar — analizatory chemiczne 5–60 s na cykl analiz, kamera 30 fps daje ~30 ms opóźnienia.
• Komunikacja — sieć przemysłowa Modbus 100–500 ms, IoT cloud 1+ s. Krytyczne dla networked control.
• Obliczenia — algorytmy ciężkie obliczeniowo (MPC z dużym horyzontem) wprowadzają T_s + jeden krok.
• Mechaniczne — zawory mają martwy obszar (backlash), serwomechanizm wymaga T_pickup zanim zacznie działać.

Plant z opóźnieniem transportowym zapisujemy w domenie Laplace'a:

Gdzie $L$ to czas opóźnienia, $G_0(s)$ to plant bez opóźnienia. $e^{-Ls}$ = pure delay: w czasie t → t − L, w częstotliwości faza opóźniona o $-\omega L$.

2. Wpływ opóźnienia na stabilność

Opóźnienie dodaje liniowo rosnącą fazę: $\arg e^{-Ls}\big|_{s=j\omega} = -\omega L$. Czyli przy częstotliwości $\omega_c$ (crossover) opóźnienie ujmuje fazę o $-\omega_c L$ radianów.

Konsekwencja: margines fazy zostaje zjedzony. Dla PID dostrojonego na PM = 60° gdy L doda 60° opóźnienia fazy, PM spada do 0° — pętla na granicy stabilności.

Reguła praktyczna: dla regulatora PID na plant z opóźnieniem L, dopuszczalne $\omega_c$ powinno być nie większe niż $\sim 0.5/L$. Inaczej trzeba stosować technikę kompensacji (Smith, IMC).

W module 10 §7 widzieliśmy marginesy GM/PM dla planta bez opóźnienia. Dodanie opóźnienia obniża PM bez zmiany GM — specyficzny efekt.

3. Przybliżenie Padé

$e^{-Ls}$ jest nieskończenie wymiarowe — pełna teoria stanów wymaga przestrzeni Banacha. Klasyczne metody (transmitancje, LQR, MPC) zakładają skończenie wymiarowy plant. Stąd przybliżenia.

Padé pierwszego rzędu

Wzór zachowuje wartość 1 dla $s = 0$ i dobrze przybliża fazę do $\omega L \lesssim 1$. Wnosi jednak zero w prawej półpłaszczyźnie ($s = 2/L$) — non-minimum phase. Skutek: undershoot w odpowiedzi skokowej.

Padé wyższego rzędu

Drugi rząd: $e^{-Ls} \approx (1 - Ls/2 + (Ls)^2/12) / (1 + Ls/2 + (Ls)^2/12)$. Dokładniejsze, dla większych pasm. Każdy rząd dodaje pole i zero w odpowiednich pozycjach symetrycznych.

Po co przybliżenie

• Analiza w klasycznej automatyce (root locus, Bode, Nyquist) wymaga transmitancji wymiernej.
• LQR dla planta z opóźnieniem przez Padé staje się LQR dla rozszerzonego planta wyższego rzędu.
• MPC może bezpośrednio modelować opóźnienie jako bufor stanu (nieskończony wektor stanu staje się skończony dla dyskretnego planta).

4. Predyktor Smitha — wizualizacja

Otto Smith (1957) zaproponował elegancką strukturę: zamiast tłumaczyć opóźnienie w modelu, użyj modelu planta jako kompensatora. Regulator widzi efektywnie plant bez opóźnienia.

W tej formie pętla otwarta jest $C(s) G_0(s)$ — bez opóźnienia. Margines fazowy zachowany jak dla planta $G_0$. Praktycznie: równoległy model bez opóźnienia + odjęcie modelu z opóźnieniem od pomiaru.

5. Internal Model Control (IMC)

Struktura

Gdzie $Q(s)$ to IMC controller, $\hat G$ = model planta. Optymalny Q dla minimalizacji błędu (przy nominalnym modelu) to $Q^* = 1/\hat G$ — proste inverse plant.

Filtr robustowy

Inverse plant nie zawsze jest fizycznie realizowalny (gdy plant non-minimum phase albo strictly proper). Stosuje się wtedy $Q = (1/\hat G_{stable\_min}) \cdot F(s)$, gdzie F to filtr dolnoprzepustowy zapewniający realizowalność i robustność na mismatch modelu.

Zalety IMC nad Smithem

• Naturalna generalizacja — działa dla planta dowolnego rzędu, z lub bez opóźnienia.
• Parametr filtru $\lambda$ w F kontroluje kompromis szybkość/robustność, jasno strojenny.
• Daje formalną gwarancję stabilności dla nominalnego modelu.

IMC jest dziś standardową bazą dla lambda tuning kontrolerów PID w przemyśle procesowym.

6. Praktyka — pomiar i kompensacja

Identyfikacja opóźnienia

Eksperymentalnie: zastosuj sygnał krokowy do u, mierz y. Czas od kroku do pierwszego widocznego ruchu y to $L$. Dla planta typu first-order plus dead time (FOPDT):

Trzy parametry ($K, \tau, L$) wyznacza się z odpowiedzi skokowej — klasyczna procedura identyfikacji w procesowym (Ziegler-Nichols 2nd method).

Strojenie PID dla FOPDT

Klasyczne reguły:

Większe $L/\tau$ = trudniejsze do regulacji. $L/\tau > 1$ oznacza, że opóźnienie jest dominującym dynamicznym elementem — wymaga predyktora.

Kiedy stosować co

• $L/\tau < 0.1$ — opóźnienie pomijalne, klasyczne PID działa bez modyfikacji.
• $0.1 < L/\tau < 0.5$ — PID strojone z uwzględnieniem L (Cohen-Coon, IMC z PID equivalence).
• $L/\tau > 0.5$ — predyktor Smitha albo IMC daje znaczącą poprawę.
• $L/\tau > 2$ — predyktor obowiązkowy dla rozsądnej wydajności.

Lektura: Åström & Hägglund „PID Controllers: Theory, Design, and Tuning" (1995) — kanon w procesowym; Skogestad „Probably the best simple PID tuning rules in the world" (2001).