Analiza częstotliwościowa

1. Po co domena częstotliwości

W domenie czasu pytamy: jak trajektoria układu wygląda w czasie? Odpowiada na to ODE i symulacja. W domenie częstotliwości pytamy: jak układ reaguje na sinusoidy różnych częstotliwości? Odpowiada na to transmitancja G(jω).

Po co druga droga? Trzy mocne argumenty:

1. Stabilność jest natychmiastowo widoczna. Wystarczy spojrzeć gdzie są bieguny G(s) na płaszczyźnie zespolonej — w lewej półpłaszczyźnie = stabilne, w prawej = niestabilne. Nie trzeba symulować.
2. Robustnośćkwantyfikowana przez margines wzmocnienia i fazy. Klasyczna automatyka miała w XX wieku praktyczne reguły „margines > 6 dB i 45°" na długo przed H∞.
3. Projektowanie regulatora przez kształtowanie krzywej Bode pętli otwartej — high gain w paśmie odrzucania zaburzeń, niski przy szumie. To bardzo intuicyjne i często prowadzi do prostszych regulatorów niż optymalizacja w domenie czasu.

2. Transformata Laplace'a — intuicja

Formalnie:

Dla nas (inżynierów sterowania) liczy się jedno fundamentalne twierdzenie: pochodna w czasie staje się mnożeniem przez $s$ w domenie Laplace'a:

Konsekwencja: równania różniczkowe stają się algebraiczne. Plant $m\ddot x + c\dot x + kx = u$ w domenie Laplace'a (przy zerowych warunkach początkowych):

Iloraz $X(s)/U(s)$ to transmitancja $G(s)$ — opisuje cały plant jako jedną funkcję zmiennej zespolonej.

Co zostało stracone, co zyskane

• Stracone: warunki początkowe (zakładamy zerowe), liczy się tylko ustalony związek wejście-wyjście.
• Zyskane: ODE → algebra; superpozycja liniowych układów = mnożenie transmitancji.

Pomijam pełną teorię (region zbieżności, własności, twierdzenie o wartości początkowej/końcowej) — w praktyce używamy Laplace'a głównie do konstrukcji $G(s)$, a potem operujemy na G analizie częstotliwościowej.

3. Transmitancja — od ODE do G(s)

Recepta:

1. Zapisz ODE planta wokół punktu pracy.
2. Przejdź do Laplace'a (każda pochodna = mnożenie przez $s$, zakładając zerowe IC).
3. Rozwiąż algebraicznie względem $Y(s)/U(s)$.

Przykłady ze standardowych planta z modułu 1

MSD: $m\ddot x + c\dot x + kx = u$:

Silnik DC (od napięcia do prędkości, przyjmując że $L$ mała):

Cart-pole zlinearyzowany wokół pionu (z modułu 1):

Zauważ: ten plant ma biegun w $s = +\sqrt{(M+m)g/(M\ell)}$ — w prawej półpłaszczyźnie. Stąd niestabilność. Jeden spojrzenie na pole-zero map mówi o całej dynamice.

Bieguny, zera, wzmocnienie

Każda transmitancja w postaci wymiernej $G(s) = N(s)/D(s)$ ma:

• Bieguny = pierwiastki mianownika $D(s) = 0$. Te kontrolują dynamikę układu — ich położenie wyznacza, jak szybko trajektoria zbiega i czy oscyluje.
• Zera = pierwiastki licznika $N(s) = 0$. Te kontrolują natychmiastową reakcję — wzmacniają niektóre częstotliwości, tłumią inne. Zera w prawej półpłaszczyźnie powodują „undershoot" (chwilowo trajektoria idzie w odwrotnym kierunku przed stabilizacją).
• Wzmocnienie K — skala. Mnoży całą odpowiedź przez stałą.

4. Pole-zero map — interaktywny

Najsilniejsza wizualizacja klasycznej automatyki. Bieguny są X-ami, zera są ○-ami na płaszczyźnie zespolonej. Z ich pozycji można odczytać wszystko: stabilność (lewa półpłaszczyzna), tempo tłumienia (Re), częstość oscylacji (Im).

Ten komponent pozwala przeciągać bieguny i zera myszką. Trzy widoki aktualizują się synchronicznie: pole-zero map, odpowiedź skokowa, Bode plot.

5. Drugi rząd — ζ, ω_n i rezonans

Większość prawdziwych systemów sprowadza się lokalnie do układu drugiego rzędu z parą sprzężonych biegunów. Standardowa forma:

Dwa parametry mówią o wszystkim: ζ (tłumienie) i ω_n (częstość naturalna). Bieguny tej transmitancji:

Dla $\zeta < 1$: zespolone, układ niedotłumiony, oscylacje wygasające. Dla $\zeta \ge 1$: rzeczywiste, układ nadtłumiony, brak oscylacji.

Najbardziej dramatyczny efekt to rezonans częstotliwościowy: jeśli $\zeta < 1/\sqrt{2} \approx 0.707$, w wykresie Bode pojawia się peak przy częstotliwości $\omega_{peak} = \omega_n\sqrt{1 - 2\zeta^2}$. Sygnały o tej częstotliwości są wzmacniane — to jest klasyczny problem w konstrukcjach mechanicznych (mosty, budynki w trzęsieniu, kadłub statku w fali).

6. Bode i Nyquist — czytanie wykresów

Co czytać z Bode

• Niskie częstotliwości — jak układ reaguje na stałe sygnały (np. stałą referencję). Wysoki gain w niskich = dobre tracking, odrzucanie stałych zaburzeń.
• Średnie częstotliwości — tu jest crossover frequency ω_c (gdzie |G| = 0 dB). Ta częstotliwość wyznacza pasmo regulatora — szybkość reakcji.
• Wysokie częstotliwości — tłumienie szumu. Niskie wzmocnienie = filtruje szum pomiarowy.
• Nachylenie -20 dB/dec = jeden biegun pierwszego rzędu. -40 dB/dec = dwa bieguny. Reguła kciuka.
• Faza — opóźnienie reakcji. Przy $-180°$ + dodatnia faza pętli otwartej = pętla zamknięta na granicy stabilności.

Co czytać z Nyquista

Krzywa Nyquista to $G(j\omega)$ dla $\omega$ od $-\infty$ do $+\infty$, narysowana w płaszczyźnie zespolonej. Kryterium Nyquista: pętla zamknięta jest stabilna wtedy i tylko wtedy gdy krzywa Nyquista pętli otwartej nie okrąża punktu $(-1, 0)$.

Bliskość krzywej do punktu $(-1, 0)$ mierzy jak blisko niestabilności jesteśmy. Stąd koncepcje marginesu wzmocnienia i fazy w §7.

7. Marginesy wzmocnienia i fazy

Margines wzmocnienia (gain margin, GM)

Ile możemy zmienić wzmocnienie pętli zanim układ stanie się niestabilny?

Znajdujemy częstotliwość, przy której faza pętli wynosi $-180°$. Sprawdzamy wzmocnienie tam. Jeśli mniej niż 1 (mniej niż 0 dB), pętla zamknięta stabilna. GM mówi, ile razy wzmocnienie może urosnąć, zanim wpadnie w niestabilność. Reguła kciuka: GM ≥ 6 dB.

Margines fazy (phase margin, PM)

Ile dodatkowego opóźnienia fazy możemy wprowadzić zanim układ stanie się niestabilny?

Znajdujemy częstotliwość przecięcia 0 dB. Sprawdzamy fazę tam. PM = jak daleko jesteśmy od $-180°$. Reguła kciuka: PM ≥ 45° (60° dla większego komfortu).

Co dają w praktyce

• Robustność na opóźnienie: opóźnienie czasowe Δt wnosi opóźnienie fazy −ω·Δt. Max dopuszczalne opóźnienie ≈ PM / ω_c. PM 45° + ω_c 10 rad/s = max opóźnienie 78 ms.
• Robustność na mismatch: zmiana wzmocnienia modelu o ±GM nie destabilizuje pętli.
• Tłumienie odpowiedzi skokowej: PM ≈ 100·ζ dla układów drugiego rzędu. PM 45° ≈ ζ 0.45 — umiarkowane tłumienie.

Dla każdej transmitancji w §4 sprawdź wartości w opisie presetu — pokazują GM, PM dla danej konfiguracji biegunów.

8. Loop shaping — projekt w domenie częstotliwości

Loop shaping to klasyczna metoda projektowa regulatora opracowana w XX wieku przez Bode'a, Nichoslsa, Hornowitza. Idea: zamiast minimalizować koszt jak LQR, kształtujesz krzywą Bode pętli otwartej $L(s) = K(s) \cdot G(s)$ tak, by spełniła specyfikację częstotliwościową.

Cele projektowe na Bode

• Niskie częstotliwości: |L| >> 1 (wysoki gain) — odrzucanie zaburzeń, tracking referencji. Dla $|L|^{-1}$ = sensitivity S(s) — jak bardzo zaburzenia wpływają na wyjście.
• Średnie częstotliwości (~ω_c): nachylenie ~ −20 dB/dec, faza nie za blisko −180°. Daje dobry margines.
• Wysokie częstotliwości: |L| << 1 (niski gain) — tłumienie szumu pomiarowego. Dla $|L|/(1+|L|) \approx |L|$ = complementary sensitivity T(s) — jak bardzo szum trafia w wyjście.

Klasyczne elementy projektowe

Loop shaping operuje konkretnymi kompensatorami:

• Lead $K_{lead}(s) = K\,(s + z)/(s + p), p > z$ — dodaje fazę w paśmie, używany do zwiększenia PM.
• Lag $K_{lag}(s) = K\,(s + z)/(s + p), p < z$ — podnosi gain dla niskich częstotliwości, używany do tracking.
• Lead-lag — kombinacja obu.
• Notch filter $(s^2 + \omega_0^2)/(s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2)$ — eliminuje wąskie pasmo (np. częstotliwość rezonansowa konstrukcji mechanicznej).

Workflow projektanta loop shaping

1. Wyrysuj Bode planta G(s).
2. Określ wymagania: tracking, robustność, szum.
3. Wybierz częstotliwość crossover ω_c (zgodnie z wymaganą szybkością).
4. Skoryguj fazę przez dodanie kompensatorów lead/lag aż osiągniesz PM ≥ 45°.
5. Skoryguj gain dla niskich częstotliwości do tracking, dla wysokich do tłumienia szumu.
6. Zweryfikuj odpowiedź skokową i Nyquist.

Loop shaping ma kompromisy: jest bardziej iteracyjny niż LQR (kilka rund tuningu), ale daje intuicję która jest niezastąpiona przy debugowaniu dziwnego zachowania regulatora. Wielu praktyków po LQR/MPC i tak otwiera Bode żeby zrozumieć „dlaczego ten regulator tak się zachowuje".

Pełna metodyka: Skogestad & Postlethwaite „Multivariable Feedback Control" rozdz. 2-3; Franklin, Powell, Emami-Naeini „Feedback Control of Dynamic Systems" rozdz. 6-7 dla klasycznego podejścia.