Moduł 18 · praktyka

Cheat sheet — synteza

Wszystkie wzory PID/SMC/MPC/LQR/observers w jednym miejscu, tablica decyzyjna, mapa modułów.

Cheat sheet — wszystkie wzory w jednym miejscu

Końcowa ściąga: kluczowe formuły, tabele decyzyjne i mapy z modułów 0–17 zestawione razem. Nie zastępuje wyprowadzeń — daje materiał do szybkiej powtórki przed projektem albo egzaminem.

Regulator PID

u(t) = K_p\,e(t) + K_i\!\int_0^t e(\tau)\,d\tau + K_d\,\dot e(t), \quad e = r - y

Człony: P — natychmiastowa odpowiedź, I — eliminacja błędu ustalonego, D — tłumienie oscylacji.

Ziegler-Nichols (closed loop): zmierz K_u i T_u.

K_p = 0.6\,K_u,\quad T_i = T_u/2,\quad T_d = T_u/8

Anti-windup (clamping): gdy u nasycone i e pcha w saturację, zatrzymaj integrację.

D na pomiarze (anti-kick):

D = -K_d\,\dot y

zamiast

K_d\,\dot e

SMC

Powierzchnia liniowa

s = \dot e + \lambda\,e \quad (\lambda > 0)

Sterowanie

u = u_{eq} + \eta\,\mathrm{sgn}(s), \quad \eta > D

gdzie $u_{eq}$ kompensuje nominalną dynamikę, η większe od ograniczenia zaburzenia D.

Reaching time

t_{reach} \le \frac{m\,|s_0|}{\eta - D}

Warianty

Boundary layer: $\mathrm{sgn}(s) \to \mathrm{sat}(s/\Phi)$ — eliminuje chattering kosztem błędu O(Φ)
Super-twisting: $u = u_{eq} - k_1\sqrt{|s|}\mathrm{sgn}(s) + v, \;\dot v = -k_2\mathrm{sgn}(s)$
Terminal: $s = \dot e + \lambda\,|e|^\alpha\mathrm{sgn}(e)$ dla $0 < \alpha < 1$ — zbieżność w czasie skończonym
Predefined-time: górne ograniczenie czasu zbieżności jako parametr projektowy T_c

LQR i MPC

LQR koszt i sterowanie

J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u)\,dt, \quad u^* = -K x

K = R^{-1} B^T P, \quad A^T P + P A - P B R^{-1} B^T P + Q = 0 \;\text{(ARE)}

MPC z ograniczeniami

\min_{u_0..u_{N-1}} \sum_{k=0}^{N-1}(x_k^T Q x_k + R u_k^2) + x_N^T P_f x_N

s.t. $x_{k+1} = Ax_k + Bu_k$ , $|u_k| \le u_{max}$ , $x_k \in \mathcal X$ . Rozwiązanie: QP w każdej chwili, aplikuj tylko u_0 (receding horizon).

Obserwatory

Luenberger

\dot{\hat x} = A\hat x + Bu + L(y - C\hat x), \quad L: A-LC \text{ stabilne}

Kalman (dyskretny)

\textbf{predict:}\; \hat x \leftarrow A\hat x + Bu,\; P \leftarrow APA^T + Q

\textbf{update:}\; K = PC^T(CPC^T + R)^{-1},\; \hat x \leftarrow \hat x + K(y-C\hat x),\; P \leftarrow (I-KC)P

SMO (Walcott-Żak)

\dot{\hat x} = A\hat x + Bu + L(y - C\hat x) + B\,\nu, \; \nu = -\rho\,\mathrm{sgn}(y - C\hat x)

Bonus: $\nu_{eq}$ rekonstruuje zaburzenie.

Domena częstotliwości

Margines fazy i wzmocnienia

PM = 180° + \angle G(j\omega_c),\; \omega_c: |G|=1

GM = 1/|G(j\omega_{180})|,\; \omega_{180}: \angle G = -180°

Reguły kciuka: PM ≥ 45°, GM ≥ 6 dB. Margines opóźnienia: $\tau_{max} \approx PM/\omega_c$ .

Układ 2. rzędu

G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}

M_p = \exp\!\Big(-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Big),\quad t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}

Peak Bode dla $\zeta < 0.707$ : $\omega_{peak} = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$ .

Dyskretyzacja

Nyquist

f_s > 2\,f_{max} \;\Rightarrow\; aliasing\;\;f_{alias}=|f-kf_s|

Metody dyskretyzacji

Euler forward: $s \to (z-1)/T_s$ — niestabilne dla dużych T_s
Euler backward: $s \to (z-1)/(T_s z)$ — zawsze stabilne, dodaje opóźnienie
Tustin/bilinear: $s \to (2/T_s)(z-1)/(z+1)$ — stabilne, dokładność O(T_s²) ★
ZOH: dokładne dla planta zerowego-rzędu hold

Reguła praktyczna

T_s ≤ τ_plant / 10 (komfort), T_s ≤ τ / 100 (sterowanie precyzyjne).

Tablica decyzyjna — kiedy który regulator

sytuacja	regulator
plant liniowy, znany, bez ograniczeń	LQR
plant liniowy + \|u\| ≤ u_max	MPC
plant liniowy + stałe zaburzenie	PID + anti-windup
plant nieliniowy + matched D	SMC (jeśli OK z chatteringiem)
j.w. + gładkie u potrzebne	SMC super-twisting
wymóg zbieżności w T_c	predefined-time SMC
nieznane ograniczenie D	adaptive SMC
tylko część stanu mierzona	SMO + SMC, LQG
parametry plant zmienne	gain scheduling, MRAC
plant z opóźnieniem L/τ > 0.5	Smith predictor / IMC
MIMO sprzężone	decoupling + PID / LQR / MPC
embedded, krótki czas obliczeń	PID / Explicit MPC
nieliniowy z ograniczeniami	NMPC
niepewność strukturalna	H∞
złożony, brak modelu	RL-based

Mapa modułów kursu

Sugerowana ścieżka:

/foundations — fundamenty (przestrzeń stanów, Lapunov, linearyzacja)
M0–M1 — wprowadzenie + modele plantów
M2–M5 — algorytmy: PID, SMC, MPC
M6 — benchmark wszystkich
M7–M8 — robustność, adaptacja
M9 — obserwatory stanu
M10–M11 — analiza częstotliwościowa i dyskretyzacja
M12 — identyfikacja parametryczna
M13 — fundamenty optymalnego sterowania (HJB, Pontryagin)
M14–M16 — opóźnienia, MIMO, hybrydowe
M17 — zadania laboratoryjne
/topics — atlas pominiętych metod (LQG, H∞, backstepping, impedance, ILC...)
/external — domeny aplikacyjne (kinematyka, planowanie trajektorii)